Derékszögű háromszögnél az átfogóval szemközti szöggel is ki lehet számolni az átfogót?

Az átfogóval szemközti szög a derékszög, úgyhogy azzal közvetlenül nem.

Ha derékszögű háromszögben adott a két befogó, akkor a két hegyesszöget ki tudod számolni tangessel, ezzel meglesz mindhárom szöged, onnan pedig valamelyik hegyesszög szinuszával/koszinuszával ki tudod számolni az átfogó hosszát.

Viszont ebben a felállásban a Pitagorasz-tétel sokkal pontosabb eredményt ad, úgyhogy érdemesebb azzal számolni.

Van egy sokkal egyszerűbb módszer.

Lerajzolod és leméred.

Koszinusztétellel? :-)

Bármely általános háromszög esetén:

c² = a² + b² - 2ab*cos(γ)

Az más kérdés, hogy cos(90°)=0, így a koszinusztétel egyszerűsítésével a Pitagorasz-tételt kapjuk vissza.

~ ~ ~

Vagy kiszámolod az a oldallal szemközti szöget:

tg(α) = a/b

α = arctan(a/b)

Ebből meg már számolható az átfogó:

sin(α) = a/c

c = a/sin(α)

Vagy egyben:

c = a/sin(arctan(a/b))

De…

sin(arctan(x)) = x / √(1 + x²)

Így:

c = a/sin(arctan(a/b))

c = a / ((a/b) / √(1 + a²/b²))

c = a * √(1 + a²/b²) / (a/b)

c = a * √(1 + a²/b²) * b / a

c = √(1 + a²/b²) * b

c = √(b² * (1 + a²/b²))

c = √(b² + a²)

c² = b² + a²

Tehát megint a Pitagorasz-tételt kapjuk vissza. (Nyilván ezt is vártuk.)

Szia, képzeld el, hogy egy fal mellé támasztott bot lecsúszik. Közben a padló és a fal végig derékszöget zár be. A derékszög és az átfogó hosszának ismeretében marad még egy szabad paraméter. Ez lehet az egyik szög. A szög melletti szöget koszinusszal, a szöggel szemköztit szinusszal lehet meghatározni. Hiszen:

koszinusz = szög mellett/átfogó;

szinusz = szöggel szemközti/átfogó

A szög melletti szöget koszinusszal, a szöggel szemköztit szinusszal lehet meghatározni.

Természetesen mindkét esetben befogókról van szó.