Melyik a legnehezebb matematikai egyenlet vagy számítás?

Egyenlet nehézsége nem egyenlő a számítási időszükséglettel. Gondolj egy másodfokú egyenletre. Mennyi ideig tart megcsinálni? Papíron, számológéppel fél perc sincs, ha nem kell rendezni. Egy harmadfokú már több perc is lehet, mert jóval hosszabb a megoldóképlete. Negyedfokúnak meg már neki se állunk, mert arra nincs megoldóképlet, számítógép nélkül megoldani lehet hetekig tartana. De nem azért, mert annyira nehéz lenne. Fel lehetne írni egy 120-ad rendű egyenletet is, az is ugyanolyan nehéz lenne mint egy másodfokú, csak a megoldási időszükséglet lenne baromi nagy.

A legtöbb matematikai számítás elvégzése ma már numerikus módszerekkel történik. Ez lényegében azt jelenti, hogy mondjuk adott egy egyenlet, a benne szereplő változók értékeit addig módosítjuk, amíg a kívánt eredményt nem kapjuk. Kiválasztunk valamilyen értékeket, kiszámoljuk a végeredményt, ha nem jó akkor újakat választunk, újra kiszámoljuk, ha az sem jó akkor megint újat választunk és így tovább. Ez a módszer a változók számának növelésével drasztikusan megnöveli az időszügségletet. Egyedül akkor vagyunk bajban, ha egy számítási papíron nehezen elvégezhető ÉS nem algoritmizálható, minden más esetben nem igazán beszélhetünk számítási nehézségről.

A negyedfokú egyneletnek van megoldóképlete, sőt, már a XVI. században is ismert volt:

[link]

Ahogyan a linken is látható, ötöd- és nagyobbfokú (polinom)egyenleteknek nincs megoldóképlete. Ez csak annyit jelent, hogy általában nem tudjuk a megoldásokat pontosan megadni, viszont vannak különböző közelítőmódszerek, amikkel egészen közel lehet jutni hozzájuk. Ilyen értelemben lehet megoldási sebességről beszélni.

De például vehetnénk az

x^10 + y^10 = z^10 diophantikus egyenletet, vagyis azokat az x;y;z egészeket keressük, amik igazzá teszik az egyenletet. Triviális (magától értetődő) megoldásokat könnyű találni, hogyha valamelyik ismeretlen értéke 0, viszont ha egyik sem 0, akkor már lehet törni a fejünket; akárhogyan számolunk, egyszerűen nem tudunk megoldást találni, pedig "csak" egész megoldásokat keresünk. Aztán nagy nehezen bebizonyították a Nagy Fermat-sejtést, és csak ebből tudhatjuk, hogy több megoldása nincs ennek az egyenletnek.

"A legtöbb matematikai számítás elvégzése ma már numerikus módszerekkel történik."

Gondold át még egyszer mit beszélsz! A tudományágak közül a fizika támaszkodik legjobban a matematikára, mint tudományágra. Márpedig ott olyan számításokat kellene megoldani, amiben van teszem azt 20-50 vagy még ennél is több ismeretlen. Ezt lehetelten numerikus módon megoldani, éppen ezért nem is használják. A numerikus számítás nagyjából az általános képletek megoldásáig terjed, bármi bonyolultabbra nem alkalmas.