Ha nagyon sok alkalommal feldobok egy érmét, és az eddig csak fej volt, akkor a következő dobásnál nagy eséllyel lesz írás vagy 50-50%?

Ha valaki 4-szer írást dobott egymás után, és 5-ödiknek fejet, akkor hogyan lehet kiszámolni, hogy mekkora volt az esélye ennek a variációnak, hogy 5 dobásból ez jött ki?

Amennyiben 5 dobásból valaki 4-szer írást dobott, és egyszer fejet, de úgy, hogy az első két dobása írás volt, aztán fej, aztán megint két írás, annak kisebb a valószínűsége, mint az előző variációnak? Tehát ha a fej és írás aránya változatlan marad, akkor a fej és írás sorrendje is megváltoztathatja az adott variáció esélyét?

Két esetet kell megkülönböztetni:

- Sorban 9 fej és utána 1 írás együttes valószínűsége,

- Mindegy mit dobtam eddig, és a következő írás valószínűsége.

A kettő nem ugyanaz.

Mi annak az esélye, hogy háromszor dobsz fejet? Az esély 1 : 8, vagy ha úgy tetszik 12,5%. Oké. De mi az esélye annak, hogy az első két dobásod fej lesz, majd a harmadik írás? Ennek is 1 : 8 az esélye. Viszont ha már dobtál két fejet, akkor más eredmény nem lehet, mint fej-fej-fej vagy fej-fej-írás. Mindkettőnek ugyanakkora az esélye.

De tegyük fel, mindenképpen háromszor akarod feldobni az érmét. Mi jöhet ki:

F F F →12,5%

F F I →12,5%

F I F →12,5%

F I I →12,5%

I F F →12,5%

I F I →12,5%

I I F →12,5%

I I I →12,5%

Feldobod az első érmét. Fejet dobtál. Tulajdonképpen akkor itt az történik – kellően leegyszerűsített megfogalmazásban –, hogy eddig 50-50% esélye volt annak, hogy hármas sorozatod első dobása fej, illetve írás lesz. De miután dobtál MÁR egy fejet, annak az esélye, hogy az első dobás írás lett/lesz 0%, hiszen nem fog a múlt megváltozni. Annak az esélye, hogy az első dobás írás, az meg 100%, hiszen ténylegesen az lett, már nem valószínűségről, hanem konkrétumról beszélünk. Így az első érme feldobása után a fenti esélyek így alakulnak:

F F F →25%

F F I →25%

F I F →25%

F I I →25%

I F F →0%

I F I →0%

I I F →0%

I I I →0%

Négy lehetséges kimenetel van, mindegyik azonos eséllyel, amiből kettő esetben fej a második dobás, tehát a fej esélye 50%.

Ugyanígy ha másodszor is dobál egy fejet, akkor a háromdobásos sorozat esélyei így változnak:

F F F →50%

F F I →50%

F I F →0%

F I I →0%

I F F →0%

I F I →0%

I I F →0%

I I I →0%

Már csak két kimenet van, mindkettő azonos eséllyel, és ebből egy esetben fej a harmadik dobás, tehát a fej esélye 50%.

~ ~ ~

Más megközelítésben mikor feldobsz egy érmét, akkor az pörög. Aztán lesik, talán pattan még egyet vagy kettőt, majd megáll valamelyik oldalán. Ebben csak az játszik szerepet, hogy milyen magasról, milyen kezdősebességgel, milyen perdülettel dobtad el az érmét, milyen a légmozgás, milyen az asztal egyenetlensége, stb… Hogy előzőleg mit dobál azzal az érmével, az fizikailag sem tud közrejátszani abban, hogy az érme melyik felére esik.

A pénzfeldobások független események.

Ha nem így lenne, és mondjuk az írás valószínűsége logikailag mondjuk 98% lenne, akkor hogyan is kellene annak az érmének repülnie, forognia, hogy realizálódjon ez a 98%-os esély? Nyilván fizikai nonszensz lenne.

2*Sü levezetése nagyon jól szemlélteti, hogy mi a helyzet. Persze nem egy precíz bizonyítás, de most nem is az a lényeg, hogy matematikailag teljesen korrektek legyünk. Gondolok itt például arra, hogy ha ugyanezt 100 dobással játszuk el, akkor ebből nem feltétlenül következik, hogy ott is ugyanez a helyzet, de igazából ugyanaz a történet akkor is.

Hasonló kérdésnél én a rulettel hozakodtam elő; vegyük azt a két csoportot, hogy a 0 és a nemnulla számok. Előbbi kiforgásának esélye (mindenféle előélet nélkül) 1/37, a másiknak 36/37.

Kérdés: ha 100-szor nemnulla jött ki, akkor 101. pörgetésre megnő az esélye a 0-nak? Vagy ha 10000. pörgetés alatt nem volt 0, akkor már majdnem 100% az esélye a 0-nak következőre? Nyilván nem, sőt, pont ugyanannyi, mint a legelső pörgetésnél.

A pénzfeldobásos kérdéskör ugyanezen elgondolás mellett történik. Itt inkább az a tényező, hogy azonos valószínűségű dolgokat vizsgálunk, és ez tévútra viszi az intuíciót.

Amikor feldobsz egy érmét, vagy fej lesz vagy írás. 50-50%. Amikor másodszor dobod fel, arra az első dobásnak semmiféle hatása nincs. Tehát az esély ismét 50-50%. Minden konkrét dobással ez a helyzet, nem számít előtte hány volt.

Azonban az, hogy az n. dobásra mi jön ki, egy teljesen más kérdés, mint az, hogy nagyon sok dobásnál mi az esély. Nem szabad összekeverni egy konkrét dobás fej/írás esélyét azzal, hogy sok sok dobás esetén mi a valószínűsége mondjuk a fejnek. A konkrét dobás eredményének esélye és egy eredmény esélye két különböző dolog.

"Amikor feldobsz egy érmét, vagy fej lesz vagy írás. 50-50%. Amikor másodszor dobod fel, arra az első dobásnak semmiféle hatása nincs. Tehát az esély ismét 50-50%. Minden konkrét dobással ez a helyzet, nem számít előtte hány volt."

Mivel minden egyes dobásnak ugyanakkora az esélye, ezért pl. ha 10-szer feldobjuk az érmét, akkor ugyan akkora esélye, hogy tetszőleges variációban fog szerepelni a fej és az írás, és ugyanakkora esélye van, hogy pl. csak írás vagy csak fej lesz mind a 10 dobás.

"Azonban az, hogy az n. dobásra mi jön ki, egy teljesen más kérdés, mint az, hogy nagyon sok dobásnál mi az esély."

"Esély" alatt a végkimenetelben szereplő fej és írás variációjának esélyét érted?

A dobások függetlenek egymástól. Tehát n-edik dobásra is pontosan ugyanakkora esélye van a fejnek és az írásnak is, azaz 50%.

Valóban kisebb az esélye, hogy kétszer egymás után fejet dobsz, de annak is kisebb az esélye, hogy két dobásból valami más variációjút dobsz. Minél több a dobás, annál kisebb a valószínűsége, hogy csak fejet dobsz. De akármi más variáció is pontosan ugyanakkora esélyű.

"Nem szabad összekeverni egy konkrét dobás fej/írás esélyét azzal, hogy sok sok dobás esetén mi a valószínűsége mondjuk a fejnek."

Pedig a kettő pontosan ugyan az. Sok-sok dobás esetén is ugyanakkora, a valószínűsége a fejnek, azaz 50%.

"A konkrét dobás eredményének esélye és egy eredmény esélye két különböző dolog."

Ha az "eredmény esélyén" az "összes dobás eredményének esélyét" érted, akkor ez igaz.