Ha egy sorozatnak van határértéke, akkor korlátos is?

Ha a határérték nem csak lokális határérték, akkor igen.

Ennek spec van egy kupac lok. határértéke, mégsem korlátos:

[link]

Pl.:

f(x) := 1/x * sin(1/x)

Ennek a függvénynek van határértéke:

lim{i→∞} f(i) = lim{i→∞} 1/i * sin(1/i) = 0

Viszont a függvény nem korlátos:

∃k∀x |f(x)|>k

A függvény -∞ és ∞ között bármilyen értéket felvehet. De ettől még a függvényből képzett sorozatnak van határértéke, ahogy x tart a végtelen felé, úgy tart f(x) a 0 fele.

Csak hogy humbug helyett valaki végre a kérdésre is válaszoljon. Igen, ha egy sorozatnak van határértéke, akkor korlátos is. Bizonyítás:

Mivel a sorozatnak van határértéke (legyen ez H) ezért definíció szerint bármely ε-hoz létezik olyan N(ε), melyre |x_n - H| < ε minden n>N(ε) esetén. Válasszunk egy tetszőleges, de konkrét ε-t: legyen mondjuk ε=1. A sorozat N(1) utáni elemei mind H-1 és H+1 közé esnek, az első N(1) elemnek pedig értelemszerűen van minimuma és maximuma, hiszen a számuk véges. A sorozatnak tehát alkalmas felső korlátja H+1 és az első N(1) elem maximuma közül a nagyobbik, és alsó korlátja H-1 és az első N(1) elem minimuma közül a kisebbik. Ennyi.

A "van határértéke" azt jelenti, hogy +- végtelenhez tart, vagy konvergens, tehát nem feltétlen korlátos.

Ha konvergens, akkor persze korlátos.

Én spec helyből függvényre asszociáltam.

Most látom, hogy tévesen.

Nem mintha nem lenne összefüggés, de tényleg nem stimmel, sorry.