A mínuszszor mínusz miért plusz?

Most olvasom, hogy említve lett, hogy ne a hitel példa legyen. Pedig az is mint bármi más példa, ami tartalmazza ennek számtani esetét, az mind megfelelő példa. Ráadásul a hitel teljesen gyakorlati is és jól érthető, és más példával sem fog ez változni. Azért lehet még elővenni példákat, de az nem fogja a hiteleset érvényteleníteni, csak bővül a példák sora.

Ez egyébként matematikai dolog, tehát elmélet, matematikai elmélet és ekként is kezelendő. Pontosan azért, mert a nincsre nem lehet fizikailag megvalósult példát mondani. Ez matematikai elmélet. Ettől persze még helyes.

De jó volt "A nem létező nem létezés az létezés." példa is. Mert a semmiből (úgymond) elvesszük magát a semmit. Akkor kevesebb semmi lesz. És ha kevesebb semmi lesz, akkor a plusz irányába léptünk. Csak ez így talán furcsán hangzik.

Ezt egy kicsit elmisztifikálták itt előttem.

Ha valamit (természetesen nem nullát) egy negatív számmal szorzunk, akkor az eredmény előjelet vált. Ha az a valami pozitív, akkor negatív lesz az eredmény, viszont ha az a valami negatív, akkor pozitív lesz az eredmény.

Mondjuk értem, hogy ilyenkor szoktak fölöslegesen "megsértődni" a matematika kedvelői, pedig nincs mire, a matematika ettől ugyanolyan hasznos a hétköznapi életben.

Így a 0 és a - 2 az egy matematikai elmélet és nem a valóságban létező. Nyilván megy majd a duzzogás a semmire, aminek nem is látni értelmét.

Tegyük fel van egy asztalunk. Ráteszünk 1 ceruzát. Oké. Levesszük a ceruzát. Akkor hány ceruza van tárgyilagosan az asztalon? Nem matematikailag! Hanem tárgyilagosan hány van rajta? Mert a tárgyi valóságban nincs 0 ceruza, és nincs valós -2 ceruza sem. Senki sem tud mutatni 0 vagy -2 ceruzát, mert a 0 és a - számok azok matematikai elméletek. Nincs tárgyi alapjuk.

Ettől egyértelműen még a matematika ugyanúgy kell és rendkívül sok területen használják.

Persze, lehet itt sokféle filozófiai példát hozni, de én úgy érzem, hogy ez inkább a már megértett elméletre való ráhúzás (mert ha nem értenénk, hogy -(-1)=1, akkor azt se tudnánk mondani, hogy a "nem nem valami" az a valami, illetve tudnánk mondani, de hogy éppen ez lenne az analógiája a negatív-pozitív viszonynak a matematikában, az nem feltétlenül kellene, hogy igaz legyen).

Adható rá geometriai példa is, én ettől viszont tartózkodnék, megintcsak azért, mert miért pont a szorzás művelete adná a geometriai mondanivalót, miért nem mondjuk az összeadás, vagy miért ne kellene ahhoz másik műveletet bevezetni (ez inkább a későbbi következmény lesz). Ezzel nem azt mondom, hogy nem értem, vagy ne fogadnám el, hanem azt, hogy ezzel a magyarázattal nehézkes lehet a megértetés. Valamint az általad hozott gondolatmenettől is viszolygok kissé; elvégre lehetne hozni azt a példát is, hogy

4^2 = 16

3^2 = 9

2^2 = 4

1^2 = 1

akkor (-1)^2 csak -1 lehet, holott nem. Mert az is lehet, hogy egy adott művelet bizonyos számokra követ egy sémát, majd más számokra teljesen más gondolatmenet szerint ad eredményt.

Kezdjük talán az elején; mennyi 5-3 eredménye? Nyilván 2. De miért? Azért, mert definíció szerint azt a számot kerestük, amihez ha hozzáadunk 3-at, akkor 5-öt kapunk, tehát 3+2=5.

És 3-5 eredménye? Erre jelenlegi tudásunk szerint nincs megoldása, mivel nem tudunk olyan számot mondani, ahelyhez ha 5-öt adnánk, akkor 3-at kapnánk eredményül, elvégre 5+0=5, ha 0-nál nagyobb számot adunk hozzá, akkor 5-nél nagyobb eredményt kapnánk, ami meg ugye nem lehet 3. Viszont szeretnénk, hogy a definíció itt is működjön, tehát két lehetőség van; vagy nem tudjuk elvégezni ezt a kivonsát (mint ahogyan a 0-val sem tudunk osztani), vagy be kell vezetni egy másik fajta számot. Tehát hasraütésszerűen lehetne mondani azt, hogy definiáljuk a @2 számot, ami azt tudja, hogy @2+2=3, így már a fenti definíció is működik: 3-5=@2, mert @2+5=3, tehát máris tudtunk eredményt mondani rá. Kérdés, hogy ezzel a számmal lehet-e bármit is kezdeni, vagy minden szám esetén működik-e, és ugyanúgy, ezt nehezebb lenne megmutatni. Legalábbis általános iskolás szinten biztosan.

Nézzünk egy másik megközelítést; az 5-3 művelet máshogyan is elvégezhető; ha a kisebbitendőt és a kisebbítőt ugyanannyival csökkentjük vagy növeljük, a különbség nem fog változni. Tehát 5-3=4-2=3-1=2-0, a 0-t nem szoktuk kiírni, így marad a 2. Most nézzük meg a 3-5 esetén mi történik: 3-5=2-4=1-3=0-2, a 0 itt sem marad kiírva, így marad a -2. Tehát sikerült konstruálnunk egy olyan számot, ami eddig nem létezett, és szerencsére nem is kell újfajta jelölést bevezetni (mint az előbb a @-t). Tehát azt mondjuk, hogy 3-5=-2, és ahogyan definiáltuk előbb a @2 számot, úgy ezt is lehet definiálni, tehát -2+5=3 kell, hogy legyen, legalábbis olyan értelemben, hogy az alternatív kivonási mód itt is működjön. Ezeket a számokat nevezzük el negatív számoknak, így pedig amiket eddig ismertünk, azokat hívjuk pozitívaknak, a 0-t kivéve, az csak legyen 0.

De miért van ez; azért, mert a pozitív számok jelölhetőek voltak egy úgynevezett szám(fél)egyenesen, amelynek kezdőpontja a 0 volt, és tőle "jobbra" helyezkedtek el az ismert számaink. A most felfedezett számok a 0-tól "balra" fognak elhelyezkedni, ráaádul pont abban a sorrendben a 0-tól mérve, ahogyan az eddigiek, tehát a 0-tól jobbra az 1 (avagy +1) van, tőle balra ugyanolyan távolságban a -1, hasonlóan a +2 és a -2, és így tovább.

Mostmár csak az a kérdés, hogy az eddig megszokott műveleteinkre hogyan viselkednek ezek a számok. Ehhez előbb tegyünk még egy definíciót; a 2 és a -2 ugyanolyan távol van a 0-tól, csak az "ellentétes" oldalon állnak, ezért mondjuk azt, hogy a 2 ellentéte a -2, és fordítva. Átalánosan azt mondjuk, hogy az x szám ellentéte a -x, tehát az ellentétet úgy képezzük, hogy az adott szám elé írunk egy "-"-t. Eszerint a 0-nak a -0, de ugyanazon a számon állunk, tehát 0=-0, így önmagának ellentéte. Az 5-nek a -5. Viszont a (-4)-nek mi lesz az ellentéte? A fenti definíció szerint -(-4), egyébként pedig tudjuk, hogy +4, tehát -(-4)=+4. Ha ezt sikerült megértenünk, akkor már meg tudjuk oldani például a 3-(-2) kivonást is.

Most nézzük a szorzás-osztás problematikáját. A jobb érthetőség kedvéért csak 1-gyel és (-1)-gyel fogok számolni, értelemszerűen az összes többi számra ugyanúgy fog működni minden. Négy tulajdonságot mindenképp szeretnénk megtartani;

-ha egy számot 1-gyel szorzunk/osztunk, akkor a számot kapjuk, vagyis 1*x=x és x:1=x

-ha egy számot önmagával osztunk (a 0-t leszámítva), akkor 1-et kell kapnunk, tehát x:x=1

-az osztás definíciója ugyanúgy érvényes legyen, mint eddig

Csak ebből a négy tényből levezethető az összes szorzás/osztás, lássuk hogyan:

Alapvetően 1:1=1, mert 1*1=1. Tehát a ++ szorzás/osztás megvan.

Most nézzük, hogy mi a (-1):1 eredménye. A fenti kívánság szerint -1, viszont az osztás definíciója szerint annak kell így teljesülnie, hogy (-1)*1=-1, tehát a -+ szorzás/osztás esetén az eredmény negatív kell, hogy legyen.

Most jöjjön a (-1):(-1). Mivel azt akarjuk, hogy ennek 1 legyen az eredménye, ezért 1 is lesz, így viszont 1*(-1)=-1 következik belőle. Tehát -- hányados pozitív lesz, +- szorzás eredménye pedig negatív.

Maradt a -- szorzás és a +- osztás előjele. Nézzük előbb az 1:(-1) osztást; 3 lehetőség van az eredményre:

-vagy 1

-vagy -1

-vagy be kell vezetni egy új számot.

Tegyük fel, hogy 1:(-1)=1, ekkor viszont 1*(-1)=1, ami ellentmond a korábbiaknak.

Most tegyük fel azt, hogy 1:(-1)=-1, ekkor (-1)*(-1)=1, ez lehet minden további nélkül, nincs ellentmondás, emiatt mondhatjuk, hogy az eredménye lehet -1 az osztásnak. Ez azért is jó így, mert az összes többi tulajdonság is érvényesül; ezt már rád bízom, hogy megnézd.

Algebrailag így lehet levezetni a negatív számokkal való szorzást és osztást.

Nem tudom, ismert-e a tautológia fogalma. Itt tömény alkalmazása fordul elő.

Kérdező!

A matematika egy modell. A valóság működésének leírása mind modell. Modellt azért alkotunk, hogy gondolkodási tudományunk felhasználásával megértsük a természet működését, sőt, következtetések, asszociációk és más gondolati műveletek segítségével bizonyos mértékig jósolni is tudjunk folyamatokat.

Kitaláltuk a szabadesés modelljét. Így megalkottuk a h=g*t^2/2 képletet, mint ennek modelljét. Ez jó, mert ha mondjuk 10 méterről leesik valami, meg tudjuk mondani, mennyi idő múlva csapódik be. Ez egy primitív modell, de ennek segítségével építünk repülőgépeket meg számítógépet.

Visszatérve a problémádra. Az ember kezdetben számlált. Egy fadarab meg még egy meg még egy, és rakta sorba őket. Később rájött, hogy nem kell mindig fadarab. Megalkotta a számokat. Kezdetben ugyan máshogy néztek ki, de ez most nem számít. Szóval így modellezték a számlálást. 1, 2, 3,.... Aztán műveleteket kezdtek csinálni, kellett erre is szabály a modellel, vagyis a számokkal. Igyekeztek úgy csinálni, hogy egyezzen a valósággal, és ne kelljen állandóan változtatni (mert belegabalyodik az ember). Ez a gondolat annyira jó volt, hogy azóta is ezt alkalmazzuk.

Szóval jöttek a műveletek, az összeadással nem volt gond. A kivonással azonban igen. Mégpedig azért, mert egyes emberek elkezdtek játszadozni a modellel, ami így önálló életre kelt. Előbb a valóságból készítettek modellt, aztán a modell trükkjeinél kellett megmagyarázni, hogy milyen valóságnak felel meg.

Eleinte Eleinte öt almából megettek kettőt, senkinek se volt gond, hogy még van három. De ezt jelölni kellett a modellben. Kitalálták a mínusz jelet, és azt a szabályt, ha ötből elveszünk kettőt (5-2) az három, mert ha visszatették, megvolt az öt. Ebből lett, hogy 5-2=3 mert 3+2=5. Szóval itt egy új gondolat az volt, hogy olyan szabályokat kell a modellel csinálni, ami megfeleltethető a valóságnak, ami meg nem, az nem jó. Vagy ha a szabály mást hozott, mint a valóság volt (ez a gyakoribb, ellenőrzésnek hívjuk), akkor módosítani kellett a szabályt.

Egyszer csak valaki ötből hatot vont ki, a szabály szerint azt nem lehetett leírni. Kitalálták, hogy a kivonásra alkotott jelet tegyük a szám elé, és nevezzük negatívnak. Ez működött, mert egyfelől 3-5 =-2, másfelől -2+5=3.

Aztán rájöttek, ha valaki háromszor egymás után öt banánt szed, ami 15 darab, azt is lehet modellezni, 3*5=15. Itt is kitalálták az összes lehetséges esetre a szabályokat, mégpedig úgy, hogy mindnek legyen értelme és vágjon egybe a valósággal. Így keletkezett az osztás is, mint a kivonás megfelelője.

Most már van lehetőség kérdésedet megválaszolni. Volt ugye -2, és meg tudták mondani, mi az (hiány, adósság, gödör, és még számtalan valóságos dolog). Volt ugye szorzás, de akkor hogyan értelmezzük a (-2)*(-3) képletet? Az előbbiek alapján nyilvánvaló. A -1 hiányt jelent. A mínusz jel kivonást. A szorzás jel többszöri összeadást. A -2 tehát jelentsen egy két méter mély gödröt (hiány a felszínhez képest). ha ezt -3-szor kell venni, az azt jelenti, háromszor egymás után, de nem hozzáadni, hanem kivonni, mert mínusz jel áll előtte. Vagyis a gödörből kivonok egy ugyanakkora gödröt (ettől megszűnik gödör lenni (lásd: (-2)-(-2)=0 - vagyis ahogyan a kivonás modelljének értelmet adtunk.). Aztán tovább ezt megismételjük, összesen háromszor. No akkor a gödör aljához képest éppen hat méterrel leszünk feljebb. Ezért lesz a negatívszor negatív pozitív. Az eredeti valóságos ténykedésünk modellnyelven előadva.

Ezt a gondolatmenetet aztán folytatjuk mind a mai nap problémáiig. Csak a világ nagyon bonyolult, annyi modellünk van, hogy ki győzné fejben tartani, helyette nem levezetjük a modellt nap mint nap, hanem a szabályait tanuljuk meg és alkalmazzuk. Persze aki nem foglalkozik ezzel, mitől gondolna bele, hogyan is keletkezett az egész. De nem is kell, mert a hétköznapi ember ezt nem használja így, viszont hogy nem merüljön feledésbe, a történelemhez hasonlóan a tudomány történetet, itt matematikatörténetet is lejegyezték, rendszerezték, tanítják az egyetemeken. Ez a műveltség része, aki ezzel foglalkozik, illik tudnia, aki meg nem, az elég, ha használni tudja. Sajnos sokan ezt is feleslegesnek tartják, ne csodálkozzunk, ha átverik őket.

Egy érdekes (és hosszú) bizonyítás:

Vegyük az N×N halmazt, ennek elemei (m,n) párok. Vegyük azokat a részhalmazokat, aminek bármely két (m,n) és (m',n') elemére igaz, hogy m+n'=m'+n. (Ezt faktorizálásnak hívják, és viszonylag könnyen belátható, hogy az egyes részhalmazok nem fedik át egymást, diszjunktak.) Ezeket a részhalmazokat nevezzük egész számoknak.

Azokat a részhalmazokat, amik az (m,0) párt tartalmazzák, azonosíthatjuk az m természetes számmal. Ha szorozni akarunk, akkor (a,0)*(b,0)=(ab,0) kell, hogy kijöjjön. mivel így a szorzás az marad, ami a természetes számoknál is volt.

Nézzük kicsit arrébb! (a+x,x)*(b+x,x) is ennyi kell legyen. Az eleje egyszerű, (a+x)(b+x)=ab+ax+bx+xx. Ha vegyesen szorzunk, akkor (a+x)x=ax+xx és (b+x)x=bx+xx, azaz az ax és bx tagok megjelentek mindkét részén a párnak. Mindössze az első részen xx, a másodikban 2xx van, azaz előre még kell egy xx. Összességében véve tehát (a+x,x)*(b+x,x)=((a+x)*(b+x)+xx,(a+x)x+(b+x)x). Eszerint (m,n)*(m',n')=(mm'+nn',mn'+m'n), ez az egész számok körében a szorzási szabály.

Nézzük, miből lesz a -1! Nem nehéz kideríteni, hogy -1 a (0,1) elemet tartalmazó részhalmaz. Ekkor pedig (-1)*(-1)=(0,1)*(0,1)=(0*0+1*1,0*1+1*0)=(1,0), ami az előzőek értelmében pont az 1-gyel azonos.

Ebben az a szép, hogy egyszerűen adódik az egész számok teljes szorzási szabályzata, sehol nem használtuk ki a negatív számok bármely tulajdonságát. Emiatt mondjuk kicsit körülményes is.

---------------------------------------------------------

Itt egy másik, ez rövid:

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab. Legyen a=1, b=-1! Ekkor (1+(-1))^2=0^2=0, másrészt (1+(-1))^2=1^2+(-1)^2+2*1*(-1)=1+(-1)*(-1)-2=-1+(-1)*(-1), Mivel ez pedig 0 kell legyen, adódik, hogy (-1)*(-1)=1.

---------------------------------------------------------

Még rövidebb:

Ha táblázatba foglaljuk a szorzást, akkor a szimmetricitás miatt adódik, hogy (-1)*(-1)=1 Ez mondjuk csúnya, nem is igazi bizonyítás.