Mi az eljárás ebben az esetben?

A kérdésed nem jó. Repülőtéren a felszállás előtt kell azonosítania magát, tehát a példádban a román repülőtéren a beszállásnál. Ha akkor nincsen megfelelő okmánya akkor fel sem engedik a gépre. Ilyenkor el kell mennie a magyar konzulátusra és ott ideiglenes személyazonosítót kell készíttetnie, csak azzal engedik át a román-magyar határon. Ismerősöm járt így, bár nem repülővel.

Ha akkor amikor beszállt a román (vagy más) reptéren még meg volt a dokumentuma, akkor legálisan lépett a magyar reptér területére - ott az onnan kilépéssel lehet csak gond. Ha magyar állampolgár akkor egyszerűen az ott ülő alkalmazott segítségét kéri hogy azonosítsák be az elveszett dokumentuma nélkül. A nem schengeni övezetből érkezők nem léphetnek ki a reptérről a dokumentumaik bemutatása nélkül.

Vagyis ha "leszállás után, az okmányellenőrzéskor észreveszi hogy elvesztette a személyi igazolványát " akkor az ott levő hivatalnok megmondja hogy mi a teendő, hiszen ő ellenőrizné éppen a dokumentumait.