Hogy mondanád? Hozzászoktam, hogy valaki csinál valamit.

Az első semmiképpen sem jó. A „get used to” után mindig főnév szerepű dolognak kell állnia, legyen az főnév, főnévi igenév vagy főnév szerepű tagmondat. Azaz jelen esetben vagy „I got used to Jane doing the shopping”, vagy „I got used to (the fact) that Jane does the shopping”. A „get used to” és az „be used to” között amúgy az a különbség, mint a magyarban a „hozzászoktam” és a „hozzá vagyok szokva” között.

Egy érdekes leírás: [link]