A természetes számokat 1–től 15–ig felírták 15 kártyalapra. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a véletlenül kihúzott kártyalapon lévő szám nem osztódik sem 3–mal, sem 5–tel?

Bontsuk ket reszre a feladatot!

-Hany "jo" es "rossz" eset van?

-Ezeknek mi a valoszinusege?

15 szam eseten eleg konnyu felsorolni a jo es rossz eseteket, 1,2,4,7,8,11,13,14, azaz 8 olyan szam van, ami nem oszthato sem 3-mal, sem 5-tel.

Nezzuk a masik kerdest:

Ha van 15 szamunk, es ebbol veletlenszeruen valasztunk egyet, mi a valoszinusege, hogy a nekunk jo 8 kozul huzunk? Elosztjuk a jo esetek szamat az osszes esetek szamaval: 8/15=0.533.., azaz 53,3% a valoszinusege.

Ha sok szamunk van, nem ennyire egyszeru, ezert nezzuk meg kicsit altalanosabban is:

1 es N kozott minden k-adik szam oszthato k-val, persze lefele kerekitve (ha k nem osztoja N-nek). Szoval N=15 es k=3 eseten 5, N=15 es k=5 eseten 3 ilyen szam van (ez valoban igy van, 3,6,9,12,15 oszthato 3-mal, ill. 5,10,15 5-tel). Ha az eredeti 15-bol kivonjuk ezt az 5, es ezt a 3 szamot, akkor - majdnem - megkapjuk a megfelelo szamok darabszamat. Azert csak majdnem, mert van egy olyan szam is, a 15, ami 3-mal es 5-tel is oszthato, ezert ezt duplan vontuk ki, egyszer vissza kell adni emiatt.

Szoval 15-5-3+1=8 olyan szamunk van, ami sem 3-mal, sem 5-tel nem oszthato, kijott, amit fent mar megallapitottunk.

Ezutan ha megkerdezik, hogy ha pl. az 1..1100 szamok voltak a kartyakon, es a 4-gyel es 9-cel nem oszthatoakra vagyunk kivancsiak, akkor igy alakulna:

1100-275-122+30=733

Valamint: P=733/1100=0.6663636

Es igy nem kell felsorolni az osszeset (kicsit sok lenne). Termeszetesen tobb oszthatosagra is altalanosithato, csak figyelni kell mit hanyszor vonunk ki/adunk hozza.