Az ‘a’ miért nagyobb vagy egyenlő kettőnél? Ezt itt nem értem pontosan.

Ez így ebben a formában nem teljesen igaz. Úgy igaz, hogy a POZITÍV számok és reciprokuk összege legalább kettő. Negatív számok esetén azt mondjuk, hogy az összeg legfeljebb -2.

Ezt egyébként nem nehéz belátni; első körben legyen x>0, ekkor

x + 1/x >= 2, szorzunk x-szel:

x^2 + 1 >= 2x, kivonunk 2-t

x^2 -2x + 1 >= 0, ha szemfülesek vagyunk, akkor észrevehetjük, hogy a bal oldalon (x-1)^2 van:

(x-1)^2 >=0, és ez mindig igaz

Ha nem vesszük észre, akkor sincs nagy baj; ugyanúgy meg lehet oldani, mint általában.

Egyenlőség akkor van, hogyha x=1, és valóban; 1+1/1=2.

Most nézzük azt, hogy x<0, ekkor

x + 1/x <= -2, szorzunk x-szel, de fordul a reláció, mivel mindenképp negatív értékkel szorzunk:

x^2 + 1 >= -2x, hozzáadunk 2x-et:

x^2 + 2x + 1 >= 0, csak úgy, mint az előbb:

(x+1)^2 >=0, és ez mindig igaz.

Egyenlőség akkor van x=-1; -1+(1/(-1)) = -1-1=-2.