Ez az angol mondat így jó past perfectnek? Kell a "had" bárhová? Vagy ez egy teljesen más igeidő? Akkor hogy van ez past perfectben egészpontosan?

(Saját mondat)

Mire a busz megérkezett, már rég megette a fagyit.

És szintén saját fordítás:

By the time the bus had arrived, he had already eaten the ice-cream.

(Még csak most kezdtem ismételni, folyamatosan haladok az igeidőkkel a könyvben.) Előre is köszönöm a segítséget.