Mi a faktorcsoport? Milyen példa van rá?

Adott egy halmaz műveletekkel, és egy ekvivalenciareláció a halmazon. És ha a művelet ekvivalenciareláció-tartó akkor az kongruenciarelációnak nevezik (általánosan, nem csak a maradékosztályokat) és erre tökéletes példa a maradékosztályok. Egy ilyen művelettartó ekvivalenciarelációt generáló halmazt - ami így később az egyik osztályt képviseli az ekvivalenciarelációban - a faktor, az összes faktort tartalmazó halmaz pedig a faktorhalmaz.

És ha műveletek csoportot alkotnak az eredeti halmazzal, akkor a faktorhalmaz is csoport, azaz faktorcsoport.

Bővebben: Maradékosztálynál maradva: az ekvivalenciareláció itt egy adott rögzített 'm' számmal való osztás maradékai szerinti osztályozás. Összesen: 0,1,2,...,m-1 maradék miatt m db osztály. (Tulajdonképpen felosztottuk a halmazt így diszjunkt halmazokra. Azt mondjuk: két szám ekvivalens (=egy halmazba kerültek) ha m-el osztva egyenlő a maradékuk.(Ami azonos a különbségük osztható m-el - kifejezéssel)

Mi akkor a kongruencia (általánosan)

Ha:

a*b=c

és ekvivalensek:

a ~ A

b ~ B

Akkor:

A*B=C ~ c

Pl. 7/3 -> 1, 11/3 -> 2, és 7+11 /3 -> 0

DE: 7 helyett 10/3 -> 1 szintén => 10+11 /3 -> 0

Az összeg kvázi megőrzi maradékot.

Vagyis egy elem lecserélhető a műveletben vele egy ekvivalenciaosztályba tartozó elemmel. Tehát az 'a' igazából képviseli az osztályát, és észre kell venni, hogy valójában ekvivalenciaosztályokkal végzünk műveleteteket -ugyanolyan szabályok szerint, mert megöröklik. Így lesz csoport a faktorcsoport is.

A fenti példaművelet maradékok ekvivalenicaosztályaival - az ekvivalenciaosztályt a maradékkal jelölve - : 1* + 2* = 0* Ha most végig gondolod, ez így egy véges, m elemű halmazon értelmezett "új" művelet végül is.

Mi a faktorhalmaz(F)?

Diszjunkt halmazok, ami kongruenciareláció (adott * művelettel), ami ekvivalens azzal, hogy:

f: g -> g*F (f eleme F esetén => g*f eleme g*F) homeomorfizmus -> innen érthető miért örökli a csoport jelzőt -, és amiben ez az F halmaz a kongruencia egyik ekvivalenciaosztálya, ill. F szerinti/által generált faktorhalmaz. Érthetőbben az ekvivalenciaosztályok mint elemek a műveletekkel olyan struktúrát alkot, mint a művelet a kiindulási halmaz elemeivel. A halmaz jele, ami elemként tartalmazza az ekvivalenciaosztályokat/faktorokat: G/F

pl: AZ egész számokat m-el osztva azonos maradékot adó számok részhalmaza faktor.

Az összes m maradékhoz létező faktor halmaza a faktorhalmaz. És az egész számok összeadása csoport, így a faktorhalmazon értelmezett összeadás is csoport, így a neve faktorcsoport.

Miért faktor, miért osztásra hasonlító jelölés?

Ha véges halmaz adott kongruenciareláció faktorait nézzük:

- a faktorok azonos elemszámúak

- véges faktor van...mert véges darab elemet osztottunk diszjunkt halmazokba

|G|/|F| = |G/F|, de ez végtelen számosságú halmazokra is érvényes (de végesen könnyű elképzelni) és innentől kezdve az egész számok oszthatósági szabályainak analógiája jelenik meg (akkor is ha nem egész számok faktorcsoportjairól van szó, mint a maradékosztályok).És ebben mi a ráadás poén? Hogy így van az orrunk előtt egy fatorhalmaz. Miért? A halmazok számossága képvisel egy számot (véges esetben), a faktorhalmaz-képzés pedig olyan halmazokat gyárt ami "tartja" a számok szorzását a halmazok számosságain végzett művelettel:

|G|/|F| = |G/F|

Tehát a véges halmazok felett van egy ekvivalenciaosztály, az azonos elemszámúak ekvivalenciaosztálya és egy ekvivalenciaosztály egy természetes számot képvisel.

És a fenti szorzat eredménye független, milyen halmazzal képviseltetjük őket. :)

Matematikailag: a véges elemszámú halmazok, bijektív relációja alkotta ekvivalenciaosztályok halmaza ... alkotta faktorhalmaz a természetes számok halmaza/-ával izomorf. De ez végtelen számosságnál is így van, vagyis éppen így definiált: A halmazok bijektív relációja a végeseken túlmutatóan hozza létre azt a faktorhalmazt, amit végülis végtelen számosságoknak nevezünk, amit így egy-egy ekvivalenciaosztály kvázi definiál.