Segítene valaki 12.-es matekban?

1) n helyére beírod a 10-et és végigszámolod.

2) Rekurzióval adták meg a sorozatot, így vagy tudsz adni explicit képletet rá, vagy végigszámolod az 5. tagig. Utóbbi kicsit egyszerűbb jelen esetben;

a2 = 5*a1-15 = 5*9-15 = 30

a3 = 5*a2-15 = 5*30-15 = 135

a4 = 5*a3-15 = 5*135-15 = 660

a5 = 5*a4-15 = 5*660-15 = 3285, tehát a5=3285.

3) a8 = a5 + 3d, tehát -1 = 11 + 3d, rendezés után d=-4.

4) Vagy kiszámolod az első 10 tagot, és manuálisan összeadod, vagy használod az összegképletet. Ha utóbbit választjuk, akkor előbb kiszámoljuk a 10. tagot:

a10 = a1 + 9d = 120 + 9*(-7)= 57, ezután

S10 = (a1 + a10)*10/2 = (120 + 57)*10/2 = 885, tehát az első 10 tag összege 885.

5) Ehhez az

Sn = (2*a1 + (n-1)*d)*n/2 képletet érdemes használni. Behelyettesítés után:

6642 = (2*62 + (n-1)*5)*n/2, ebből egy másodfokú egyenlet lesz, amire a két megoldás n=41 és n=-64,8, utóbbi nem lehet válasz a feladatra, így n=41 lesz a jó, vagyis 41 sorból áll a tető.

6) Egyszerűbb kiszámolni az első 5 tagot; 96, 48, 24, 12, 6, ezek összege 186. Persze lehet számolni az

Sn = a1 * (q^n-1)/(q-1)

képlettel is számolni, ekkor

S5 = 96 * (0,5^5-1)/(0,5-1) = ... = 186.

7) Érdemesebb az összegképletből kiindulni;

Sn = a1 * (q^n-1)/(q-1). Mivel most a kitétel az, hogy Sn < 1000, ezért egy egyenlőtlenséget fogunk kapni:

1000 > a1 * (q^n-1)/(q-1), ide behelyettesítünk:

1000 > 22 * (1,2^n-1)/(1,2-1), rendezés után

10,091 > 1,2^n

Most megtehetjük azt, hogy addig szorozzuk önmagával az 1,2-et, amíg először át nem lépünk 10,91 fölé, ezt a 13. szorzásra fogjuk megkapni (1,2^13=~10,699), tehát legfeljebb 13 számot adhattunk össze. Ha nem így számolunk, akkor csak logaritmussal lehet; vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát (tetszőleges alapú logaritmust lehet venni, de 10-essel tud a számológép számolni):

lg(10,091) > lg(1,2^n), használva a III. azonosságot:

lg(10,091) > n*lg(1,2), osztás után

n < lg(10,091)/lg(1,2) =~ 12,6789, ennek legnagyobb megoldása n=12.

Ellenőrzés; n=12-re

S12 = 22 * (1,2^12-1)/(1,2-1) = 870,77104930816,

n=13-ra

S13 = 22 * (1,2^13-1)/(1,2-1) = 1066,925259169792, ez pedig már több.

Az összegképlet (110*(1,2^n-1)) láthatóan egy szigorúan monoton növő függvény, emiatt valóban az n=12 lesz a válasz a kérdésre.

8) Az amortizáció képletével számolva (ami valójában a kamatos kamat képlete, csak a kamatláb negatív)

t10 = t0 * (1+(p/100))^10 = 150.000 * (1+(-12/100))^10 =~ 41.775, tehát 41.775 forint lesz a TV értéke.

Lehet mértani sorozatként is kezelni, ekkor kiszámolod, hogy 1 és múlva, 2 év múlva mennyi lesz az értéke, utána felfedezed, hogy az eredmények mértani sorozatot alkotnak (a szomszédosak hányadosa ugyanannyi), így rá lehet ereszteni az

an = a1 * q^(n-1) képletet.

9) A fenti képletet használva;

400.000 = 200.000 * (1+(p/100))^10, rendezés után

p =~ 7,177 =~ 8, tehát a kamatláb 8%. (A kerekítési szabályok alapján lefelé kellene kerekíteni, azonban p=7%-nál nem érné el az összeg a 400.000 forintot, ahhoz még egy évre szükség lenne.)