Hogy kell ezt a matek feladatot megoldani? (egyenes egyenletek)

Rosszul írtad ide a feladatot, lehagytál egy előjelet.

Ez a két egyenes nem merőleges!

Ha merőlegesek lennének, akkor a normálvektoraik skaláris szorzata 0 lenne, de itt:

5*2+2*5=20 és nem 0.

Többféleképpen meg lehet oldani;

Valószínűleg azt a megoldást várja el a tanár, ami felhasználja azt, hogy az egyenesek meredekségeinek szorzata -1 (leszámítva azt az esetet, amikor az egyenesek a tengelyekkel párhuzamosak). Definíció szerint az egyenes meredeksége az y=m*x+b alakú lineáris függvényben m, vagyis x együtthatója (vagyis amivel x meg van szorozva), ennek fényében ilyen alakra kell rendeznünk a fenti egyenleteket:

e: y = 2,5*x + 7,25

f: y = -0,4*x + 2,9

Ha ez a két egyenes merőleges, akkor (a fentiek értelmében) meredekségeik szorzata -1. Az e egyenes meredeksége (szintén a fentiek miatt) 2,5, az f-é -0,4, ezek szorzata kereken -1, tehát merőlegesek egymásra az egyenesek.

Másik megoldási mód az előbb emlegetett skaláris szorzat, ehhez két irány- vagy két normálvektorra van szükségünk; ha ezek merőlegesek egymásra, akkor a vektorok skaláris szorzata 0, és ha 0, akkor merőlegesek egymásra. Azt tudjuk, hogy az Ax+By=C alakú egyenlet normálvektora (A;B), tehát az e egyenes normálvektora (5;-2), az f-é (2;5), ezek skaláris szorzata (összeszorozzuk az azonos helyen álló koordinátákat és a szorzatokat összeadjuk):

5*2 + (-2)*5 = 10-10 = 0, tehát merőlegesek.

Harmadik megoldás: ha megvan a metszéspont, akkor válasszunk ki egy-egy pontot a két egyenesről (értelemszerűen a metszéspont nem játszik), ekkor kapunk egy háromszöget, amelynek a tanult módon kiszámolhatóak az oldalai (érdemes gyökös alakban hagyni az oldalhosszokat, mindjárt látjuk, miért). Ha a háromszög derékszögű, akkor biztosan teljesül rá Pitagorasz tétele, vagyis a^2+b^2=c^2, ahol c a leghosszabb oldal (átfogó) (és máris látjuk, hogy miért is érdemes a gyökjelet meghagyni; a ^2 szépen meg fogja enni, és csak az alatta lévő szám marad).

Negyedik megoldás: ha a két normálvektor/irányvektor merőleges egymásra, akkor 90°-kal elforgatva az egyiket a másik skalárszorosát kell kapnunk. Egy vektor esetén a következő módon megy a rá merőleges vektor képzése: Megcseréljük a két koordinátáját, majd az egyik előjelét megváltoztatjuk. Az, hogy melyik koordináta előjelét változtatjuk, az csak a forgatás irányát befolyásolja, a merőlegességet nem. Ebben az esetben; az e egyenes normálvektora (5;-2), ha megcseréljük a koordinátákat és az első előjelét változtatjuk meg, akkor (2;5)-öt kapunk, ami pont a másik egyenes normálvektora, tehát itt már nem is kell tovább számolni. Ha véletlenül a második koordináta előjelét változtatnánk, akkor sincs nagy baj, mivel a (-2;-5) vektor a (2;5) vektornak pont a (-1)-szerese, tehát a kapott vektor skalárszorosa a másiknak.