Határozzuk meg azon n természetes számokat, amelyekre n*p/ (n-p) ϵ N, ahol p tetszőleges prímszám. Melyik p prímszámokra lesz az n is prímszám?

Nézzünk néhány részmegoldást. Be kell látni, hogy létezik olyan kϵN egész, hogy k=np(n-p), azaz p=nk/(n+k). Triviálisan teljesül a következő: (2p)(2p)/(2p+2p)=p.

Tehát n=k=2p.

Megoldható a következő egyenlet is: (p+1)x/(p+1+x)=p, ahol x egész. Ebben az esetben x=p(p+1). Ekkor n=p+1 választás mellett k=p(p+1). Ez nyilván nem az összes megoldás. Az n és a k itt szimmetrikus szerepet játszik, teljesen mindegy ,hogy melyikről mutatom ki a prímszám voltát. Sz. Gy.

A feladat második részében könnyen kimutatható, hogy n nem lehet prímszám. Ugyanis ha az lenne, akkor n=q prímszám esetén qk/(q+k) nem lehet egész, így prímszám se. Ugyanis

(q+k)|(qk) <==> (q+k)|k, de q+k>k miatt ellentmondáshoz jutunk. Sz. Gy.

Én kétféleképp értem a feladatot:

1. Olyan n ϵ N kell, melyre minden p prím esetén n*p/(n-p) ϵ N, ilyen nincs, mert p>n esetén a kifejezés negatív lesz.

2. Ha előre rögzített p-hez keressük az összes jó n-et, akkor átalakítjuk a képletet:

n*p/(n-p) = (n*p-p^2+p^2)/(n-p) = (n*p-p^2)/(n-p) + p^2/(n-p) = p + p^2/(n-p) ~

Az első tag egész, a második is az kell legyen. De akkor (n-p) osztója p^2-nek, azaz (n-p) lehet:

-p^2, ekkor n= -p^2 + p <0 nem lehet

-p, ekkor n= -p + p = 0

-1, ekkor n= p - 1, de ekkor a fenti kifejezés negatív

1, ekkor n= p +1

p, ekkor n= p + p =2p

p^2, ekkor n= p^2 + p

Ez 4 megoldás, Ha végignézed, n soha nem prím, csak ha p=2, mert akkor lehet az egyik n érték (mégpedig az n=p+1=3) is az.

#2 alatti bizonyításom hibás, még akkor is, aha p=2 és n=3.

Azt ne vedd figyelembe. Vurugya Béla levezetése mindent helyre tett. Sz. Gy.