Adott 7 különböző számjegy. Hogy lehet bebizonyítani, hogy tetszőleges n természetes számhoz kiválasztható a hét számjegy közül kettő, amelynek összege ugyanarra a számra végződik mint n?

A "skatulya-elv" alkalmazható.

A 7 kiválasztott szám közül valamelyik kettő összege miért végződik 1-re ?

A lehetőségek:

0 + 1

2 + 9

3 + 8

4 + 7

5 + 6

Csak akkor nem jönne ki az "1"-es,

ha bármelyik párosításnál legfeljebb csak egy tag szerepelne a kiválsztottak között.

Mivel hét volt kiválasztva, ezért

a felsorolt öt párosítás közül legalább egyiknél mindkettőnek benne kell lennie a kiválasztottak között.

(Ha nem hét, hanem csak hat lett volna kiválasztva, akkor is igaz volna.)

Ugyanígy következtethetünk a többi páratlan végződésnél is.

A 7 kiválasztott szám közül valamelyik kettő összege miért végződik 6-ra ?

A lehetőségek:

0 + 6

1 + 5

2 + 4

7 + 9

(3+3, vagy 8+8 nem jó mert a kiválsztott számjegyek különböznek.)

Ha a fel nem soroltak: 3 és 8 esetleg ki is volt(ak) választva,

akkor is - a hét közül - még legalább ötnek a felsoroltak között kell lenni,

de csak négy párosítás van, tehát valamelyik párosítás mindkét eleme ki volt választva.

Ugyanígy következtethetünk a többi páros végződésnél is.

--------------

Egyébként ha hét helyett csak hat számjegyet választanánk ki, akkor tényleg nem volna igaz az állítás,

mert pl. 0,1,4,5,6,9 esetén

a páratlan végződések igen, de

a páros végződések közül 2 és 8 nem jönne ki.