A 13-as feladatnál miért kell 2 kikötés? Úgy emlékszem hogy a tanárunk azt mondta hogy az ilyen típusú feladatnál csak a gyök alatti értékhez kell értelmezési tartományt rendelni.

egyik kikötés: 2x^2-71>0, mivel gyök alatt nem lehet negatív szám.

Másik kikötés: 5-x>0, mivel a jobb oldal is nagyobb 0, mivel egy pozitív valós szám gyöke nemnegatív.

Tisztázzunk fogalmakat:

Ha egy egyenlethez nem adnak meg alaphalmazt, akkor alaphalmaznak kell tekinteni a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen belül az egyenlőségben szereplő műveletek elvégezhetők.

Ennek meghatározását nevezzük "konyhanyelven" kikötésnek.

Itt csak egy művelet nem végezhető el minden esetben, a gyökvonás. Tehát ez a szokásos értelemben vett "kikötés".

(az előző válaszoló lehagyta az = jelet, tehát ez pontosan így lenne: 2x^2-71 >= 0

Az alaphalmaz ennek a megoldása.

Amikor megoldod magát az eredeti gyökös egyenletet, a mérlegelvet alkalmazod és négyzetre emelsz.

A mérlegelv megköveteli, hogy olyan átalakítást végezz mindkét oldalon, amely a megoldáshalmazt nem változtatja meg (azonos átalakítás).

De a négyzetre emelés nem ilyen!

A négyzetre emelésnél hamis megoldás keletkezhet, mely az eredetinek nem megoldása. Ez akkor jöhet be az egyenletbe, ha olyan egyenletet emelsz négyzetre, melynek a jobb oldalán a (nem nulla) bal oldalnak épp az ellentettje áll.

pl. 3=-3 ez egy hamis egyenlőség, de négyzetre emelve 9=9 lesz, ami igaz.

A hamis gyök ellen kétféleképp lehet védekezni:

1. az egyenletmegoldás végén ellenőrzéssel kiválogatod a hamis gyököket (azaz megoldásokat).

2. A négyzetre emelés előtti sorban megszabod, hogy a jobb és a bal oldal egyező előjelű legyen. Ebben a feladatban a jobb oldalon egy négyzetgyök áll, ami mindig nemnegatív, tehát a baloldalnak is nem negatívnak kell lennie.

Azaz 5-x >= 0 (az előző itt is elsinkófálta az = jelet :)

Tehát ez egy hamis gyökök kizárására vonatkozó feltétel, nem az alaphalmazra vonatkozó kikötés.

Nyugodtan megoldhattad volna enélkül is az egyenletet, csak akkor a végén ellenőrzéssel ki kellett volna szűrni a hamis gyököket...