A matek tanárom azt monta, hogy ha be bizonyítom hogy 1+1=2 akkor ad 10db 5-öst. Azt valahogyan be lehet bizonyítani?

Balubának igaza van, csak adok hivatkozást hozzá:

Az 1 és a 2 definíciója: [link]

Az összeadás definíciója: [link]

A 7.7.2. állítás feletti állóbetűs magyarázat alapján 1 + 1 = 1⁺ = 2.

A linkelt könyv elején pedig röviden van filozófiai háttér (azzal együtt, hogy bele lehet kötni, mint ahogy mindenbe bele lehet kötni), ami valamelyest megvilágítja, hogy ez miért elég, illetve az ezeket a definíciókat megelőző jó 200 oldal részletesen taglalja az axiómákat és a jelöléseket, meg hogy mikor bizonyítás egy bizonyítás. (Tulajdonképpen amikre Baluba axiómaként hivatkozik, be vannak bizonyítva halmazelméleti axiómákból felépítve.)

Ha nem akarunk teljesen a kályhától indulni, akkor levezethetjük az aritmetika axiómáiból is: [link]

Definíciók: 1 ≡ 0#, 2 ≡ 1#. Kell nekünk az 1 + 1.

Az '1 ≡ 0#' definíció és a '(∀x)(∀y)(x#=y# ⇔ x=y)' axióma szerint a második 1-es helyére beírhatjuk, hogy 0#: 1 + 1 = 1 + 0#.

A '(∀x)(∀y)(x + y# = (x + y)#)' axióma alapján: 1 + 0# = (1 + 0)#.

A '(∀x)(x + 0 = x)' axióma alapján: (1 + 0)# = 1#.

A '2 ≡ 1#' definíció és a '(∀x)(∀y)(x#=y# ⇔ x=y)' axióma szerint: 1# = 2.

'Az egyenlőség logikai tulajdonságai' (a könyvben 2.9.2. Tétel, bizonyítással) közül a '((T=S) ∧ (S=R)) ⇒ T=R' alapján:

((1+1 = 1+0#) ∧ ((1+0# = (1+0)#)) ⇒ 1+1 = (1+0)#,

((1+1 = (1+0)#) ∧ ((1+0)# = 1#)) ⇒ 1+1 = 1#,

végül ((1+1 = 1#) ∧ (1# = 2)) ⇒ 1+1 = 2.

Persze hogy mi az a ∀, ≡, ⇒, ∧,…; hogy ez miért értelmes és jó így; hogy mik voltak az alapvetések, mik a szabályok; pontosan mi is matematikai kifejezés és bizonyítás, csak akkor derül ki, ha elolvasod és megérted a könyv első 100 oldalát. Szóval ha részletesen prezentálod a tanárodnak ezt a 100 oldalt (amiben azért vannak elég nehezen emészthető és elvont dolgok) meg ezt a rövid levezetést, amit idevarázsoltam; akkor nehezen fog tudni beléd kötni, és néhány ötös is járhat érte.