Egy derékszögű háromszögben a befogók hosszának aránya 5:3. az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót olyan szakaszra osztja, amelyek közül az egyik 4cm-rel hosszabb, mint a másik. Számitsuk ki az átfogó és az átfogóhoz tartozó magasság hosszát!?

A magasságvonal a háromszöget két kis háromszögre osztja. Ez a két kis háromszög, és az eredeti háromszög hasonlók, ezt fogjuk felhasználni. A magasságvonal az átfogót két részre osztja. A rövidebbiket c1-gyel, a hosszabbat c2-vel jelölöm.

Egyrészt m/c1 = 5/3, tehát m = 5/3 c1

Másrészt m/c2 = 3/5, tehát m = 3/5 c2

Egyesítve: 5/3 c1 = 3/5 c2

A feladat elmondja, hogy c2 = c1 + 4, tehát

5/3 c1 = 3/5 (c1 + 4)

5/3 c1 = 3/5 c1 + 2,4

25/15 c1 = 9/15 c1 + 2,4

16/15 c1 = 24/10

c1 = 24/10 * 15/16 = 360/160 = 2,25

Tehát c2 = 6,25, c = 8,5

A magasság kiszámítását meghagyom neked.

Legyen

a, b - a két befogó (a > b)

p, q - a befogók merőleges vetülete (az átfogó két szelete; p > q)

c = ? - az átfogó

m = ? - az átfogóhoz tartozó magasság

A feladat szerint

p - q = 4

a/b = n = 5/3

A megoldáshoz az átfogó szeleteinek hosszára van szükségünk.

Egy összefüggés már van, kellene még egy. Ehhez a befogó tételt használhatjuk.

A befogó-tétel a két befogóra:

a² = c*p

b² = c*q

Az elsőt elosztva a másodikkal

a²/b² = p/q= n²

Ezzel meg is van a két egyenletünk

p - q = 4

p/q = n²

A másodikból

p = q*n²

Az elsőbe behelyettesítve

q*n² - q = 4

Kiemelve

q(n² - 1) = 4

ebből

q = 4/(n² - 1)

***********

és

p = 4n²/(n² - 1)

*************

Ezek után az átfogó

c = p + q

c = 4(n² + 1)/(n² - 1)

=================

és a magasság

m² = p*q

= 16n²/(n² - 1)²

Gyököt vonva

m = 4n/(n² - 1)

=============