Az ABC háromszög két csúcspontja A (2; 6), B (8; 2). Az A és B csúcsokon áthaladó súlyvonalak egyenlete: 5x − y = 4 és x − 7y = −6. Számítsa ki a háromszög területét!?

A háromszögek súlyvonalai egy pontban metszik egymást és ez a súlypont.

A súlypont koordinátái:S(sx;sy)

sx=(Ax+Bx+Cx)/3

sy=(Ay+By+Cy)/3

A háromszög területét pedig rengeteg féleképpen kilehet számolni.

Én Héron-képlettel számolnám:T=gyök[s(s-a)(s-b)(s-c)], ahol s a félkerület.

Rengetegféle módon lehet, én úgy csinálnám, hogy:

A súlyvonalak metszéspontja, M, harmadolja a súlyvonalat, így mondjuk az A-n áthaladó súlyvonal metszéspontjának helyvektorát úgy kapjuk, hogy

vek(P) = vek(A) + 3/2*vek(AM),

ahol vek(AM) = vek(M) - vek(A).

A súlyvonal felezi a területet, így

T(ABC) = 2*T(ABP),

és ABP AP oldala egyszerűen az AM szakasz hosszának 3/2-szerese, az ehhez tartozó magasság pedig a B pont távolsága az A-n áthaladó súlyvonaltól.

Neked is ennyi jött ki?

[link]

Éa ha A és B szerepét megcseréljük, akkor a számok is szebbek kicsit:

Az B-n áthaladó súlyvonal egyenlete az egységnyi normálvektorral:

1/gyök(50)*x - 7/gyök(50)*y + 6/gyök(50) = 0,

ettől az A pont távolsága:

m(AsB) = abs(1*2 - 7*6 + 6)/gyök(50) = 34/gyök(50) = 17*gyök(2)/5.

Mx = 7*My - 6, 35*My - 30 - My = 4,

My = 1, Mx = 1.

T(ABC) = m(AsB)*(3*d(BM)/2) = 17*gyök(2)/5 * 3*gyök(50)/2 = 17*3 = 51.