Ha egy 15 m magas toronyból függőlegesen kezdő sebesség nélkül leejtek egy labdát, akkor milyen magasságban kell elhelyeznem a 45 fokos lejtőre, hogy a labda a lehető legmesszebb érjen földet?

Hát, most szövegértésből megbuktam.

Most egy labda van vagy kettő?

Most leejtem vagy elhelyezem?

Vagy a leejtőt ejtem le?

Neked kiesett az órán egy fél perc és sikerült két feladatott "összemosnod" ...

Tényleg van elírás a kérdésben (helyesen: lejtőt a lejtőre helyett), de elég egyértelműnek tűnik, hogy egy 45°-os lejtőre ejtik a labdát, aminek a magasságát úgy kell megválasztani, hogy a labda a legmesszebbre pattanjon róla vissza (vízszintesen, természetesen).

(Amúgy gyanús, hogy 7,5 m fog kijönni, bár nem számoltam utána. Majd este, ha addig sem étkezik válasz.)

A lejtő után a pálya egy parabola, aminek az egyenletét

y = H-q*x^2 alakban kereshetjük,ahol H a keresett magasság.(q még ismeretlen).

Triviális hogy ekkor a vízszintes hajítás talajra eső vetülete x0=gyök[H/q]

Továbbá mivel y=H-g*t^2/2 és x=v0*t ezért:

y=H-g*x^2/(2*v0^2).

Vagyis q=g/(2*v0^2).

Ezekből tehát x0=v0*gyök[2*H/g].

Ezt a képletet egyébként ránézésre is felírhattuk volna, hiszen a gyökös kifejezés épp a teljes ideje a vízszintes hajításnak (és annak függőleges vetületének is).

A torony magasságát jelölje M. Az energiamegmaradást felírva látható, hogy:

g*(M-H)=v0^2/2 amiből v0=gyök[2*g*(M-H)]

Ezt vissza kell írni x0 képletébe:

x0=gyök[2*g*(M-H)]*gyök[2*H/g].

A gyökvonás azonosságainak felhasználásával:

x0 = 2*gyök[H*(M-H)] = 2*[M*H-H^2]^(1/2)

Ezt deriváljuk H szerint:

dx0/dH = (M*H-H^2)*(M-2*H)

A második derivált: d^2x0/dH^2 = (M-2*H)^2-2*H*(M-H).

A szélsőérték szükséges feltétele hogy dx0/dH=0.

Két eset van: első: M-2H=0 így H = M/2.

ekkor a második derivált:

d^2x0/dH^2 = (M-M)^2-2*H*(M-M/2) < 0, ezért x0 -nak maximuma van H=M/2 esetén, így ez a keresett megoldás.

második eset: M*H-H^2 = 0, H*(M-H) = 0.

Itt H=0 és H=M adódik. Könnyen belátható, hogy ekkor a második derivált pozitív, tehát x0-nak minimuma van.

Fizikailag is érthető, hiszen H=M esetén v0 zérus lesz, míg H=0 esetén nem jön létre a vízszintes hajítás.

Vagyis jó volt itt az egyik válaszoló megsejtése, H = M/2 a megoldás.

(((Mindjárt jön egy másik 60%-os válaszadó, hogy „kár ezt így elbonyolítani”…)))

Legye a torony magassága H, a lejtőé h. Ugye a labda s = v*t távolságra repül, ahol v = gyök(2*(H – h)*g) a lejtővel való találkozásig elért sebesség, és t = gyök(2*h/g) az az idő, amíg a labda a lejtőtől földet ér. Az

s = gyök(4*h*(H – h))

maximuma ott van, ahol a 4*h*(H – h) függvényé (mivel a gyökfüggvény szigorúan monoton növekvő), ennek pedig a gyökök átlagánál (mivel a főegyüttható negatív), tehát

hmax = H/2 = 7,5 m.

(Ez pedig tényleg az értelmezési tartományon belül van, így a nagyon matekosok se kötözködhetnek.)