Mennyi az (a/b) ^2+ (b/a) ^2 összeg, ha az a és b pozitív valós számokra (1/a) - (1/b) - (1/ (a+b) ) =0 teljesül?

(1/a)-(1/b)-(1/(a+b))=0

Leegyszerítjük

(b^2-a*b-a^2)/(a*b^2+a^2*b)=0

0 akkor lehet az eredmény, ha a számláló is 0. (A nevező nem lehet 0, mert 0-val nem lehet osztani.)

b^2-a*b-a^2=0

Ezt kiszámoljuk a másodfokú megoldóképlettel.

b=-((sqrt(5)-1)*a)/2

b= ((sqrt(5)+1)*a)/2

A b-t behelyettesítjük ebbe:

x=(a/b)^2+(b/a)^2

x=(a/(-((sqrt(5)-1)*a)/2))^2+(-((sqrt(5)-1)*a)/2/a)^2

x=(sqrt(5)-1)^2/4+4/(sqrt(5)-1)^2

x=0.3819660112501+2.618033988749896

x=3

(a/b)² + (b/a)² = ?

Ha

1/a - 1/b - 1/(a + b) = 0

************************

A feltétel

1/a - 1/b - 1/(a + b) = 0

Átrendezve

1/a - 1/b = 1/(a + b)

A bal oldal közös nevezőre hozva

(b - a)/ab = 1/(a + b)

A törteket eltüntetve

(b - a)(a + b) = ab

A bal oldal nevezetes szorzat

b² - a² = ab

Mindkét oldal osztva ab-vel

b/a - a/b = 1

Mindkét oldalt négyzetre emelve

(b/a)² - 2(b/a)(a/b) + (a/b)² = 1

A vegyes szorzat értéke 2

(b/a)² - 2 + (a/b)² = 1

Átrendezve kapjuk a bizonyítandó összefüggés értékét

(b/a)² + (a/b)² = 3