Jó matekosok! 12. osztályos feladatban valaki segítene?

Legyenek az egységvektorok i és j. Legyen a=i*4*√2, ekkor

b=4*√2*i+4*√2*j.

Legyen d=-2*a=-i*8*√2. Ekkor cosgamma=[b*d/(|b|*|d|)].

Tehát:

|c|=gyök(b^2+d^2-2*|b|*|d|*cosgamma).

Én így magyaráznám el:

[link]

Az egyik módszer, amit lehet, hogy lerajzolod az a, b és –2*a vektorokat (a-t és b-t azonos kezdőponttal). Ugye geometriai szemléletben úgy adjuk össze a –2*a és b vektorokat, hogy a –2*a végpontjához toljuk a b-t, majd a kezdőpontját összekötjük a b végpontjával, ez lesz a c vektor. A konkrét esetben ez egy olyan háromszög, aminek az oldalai |–2*a|, |b| és |c| hosszúak, a |c| hosszú oldallal szemközti szöge pedig pont ∠a;b = π/4. Így c-re felírhatjuk a koszinusztételt, hogy

|c|^2 = |-2*a|^2 + |b|^2 – 2*|–2*a|*|b|*cos(∠a;b) = (8*√2)^2 + 8^2 – 2 * 8*√2 * 8 * cos(π/4).

(Közben látom, hogy ezzel megelőztek, és ábra is van hozzá…)

A másik módszer kicsit általánosabb, lényegében ez is úgy indul, ahogy a 15:36-os válasz (csak kevesebbet kell hozzá írni, mert nem kell leírni az ábrát).

Vegyünk fel egy derékszögű koordináta-rendszert, aminek az x tengelye párhuzamos az a vektorral, ebben

a = (4*√2, 0) // avagy 4*√2*(cos(0), sin(0)),

–2*a = –2*(4*√2, 0) = (–8*√2, 0),

b = 8*(cos(π/4), sin(π/4)) = (4*√2, 4*√2),

c = –2*a + b = (–8*√2, 0) + (4*√2, 4*√2) = (–4*√2, 4*√2),

és végül (akár a Pitagorasz-tételre hivatkozva)

|c| = √((–4*√2)^2 + (4*√2)^2) = √(32 + 32) = 8.

"15:36, az jó, ha cosgamma negatív? Vagy csak elírtál valamit?"

Triviális hogy negatív, hiszen tompaszögről van szó...

Az első válasz elég tanulságos: tipikusan olyan, mintha egy tudálékos diák, aki folyamatosan a differenciálegyenletekkel, integrálással és bonyolult fogalmakkal menőzik, belezavarodott volna a megoldásba, mert nem érti a fogalmak hátterét, és mindegyikhez próbál nyúlni egyszerre. Az ilyenek szoktak leszerepelni a matekversenyeken azokkal szemben, akik a rendes anyag mélyebb megértését, és a gondolkodást helyezik előtérbe. (Megjegyzem, a végeredményében is van egy előjelhiba, meg hogy ez messze nem versenyfeladat, mert középszintű érettségin is előfordulhat.)

Persze nyilván lehet, hogy csak oktató jellegű válasz szeretett volna lenni, ami a későbbi megoldások alapötleteit sorolja fel*, de akkor is vannak benne fura dolgok: például leírja, hogy i és j egységvektorok legyenek, de azt nem, hogy merőlegesek. Persze ez kijön az a és b vektorokra adott összefüggésből is, node azokból az is kijön, hogy egységvektorok, tehát következetlen dolog csak az egyiket leírni. (Megjegyzem, érettségin, ha kimarad egy ilyen feltétel, akkor pontot vonnak le egy összetettebb feladatnál.)

Aztán jön egy felesleges kitérő, hogy kiszámolja a vektorok szögének koszinuszát, mikor a szögük eredendően meg volt adva (illetve az egyikkel ellentétes vektorral bezárt szöge volt adva, de azzal ez a szög egyszerűen ∠d;b = π – ∠a;b = 3*π/4, aminek a koszinusza –√2/2). Lehet ilyet, meg jó is, csak ugye ez azt mutatja, hogy nem látja át a dolgot a kolléga (esetleg a vegyes- és keresztszorzatukat is kiszámolhatta volna, meg mellé felírhatott volna egy differenciálegyenletet, ami az ilyen sebességvektorokkal mozgó két pontszerű testet ír le, és akkor arról is tanulhattunk volna valamit – persze a megoldását nem írta volna oda, hogy gondolkozhassunk rajta†).

Végül elrontja a koszinusztételt (ugye nyilván nem elírás történt, külön rákérdeztem), mert úgy érzi, hogy neki nem kell ábrát rajzolni, vagy legalább végig gondolni, hogy hogyan adunk össze két vektort. Ugye ha u és v vektorok bezárt szöge γ, és w = u + v, akkor ez a három vektor egy olyan háromszöget feszít ki, amiben v az u végpontjából indul, így ebben a w-vel szemközti szög π – γ. Ezzel a koszinusztétel

w^2 = u^2 + v^2 – 2*|u|*|v|*cos(π – γ) = u^2 + v^2 + 2*|u|*|v|*cos(γ),

tehát az első válasz utolsó képletében egy előjel hiba van, ami miatt a végeredmény 8*√5-re adódik (ami elég durva hiba még ha érettségin ezért is csak 1 pontot vonnának le, de az iparban sok pénzbe kerülhet, ha még az ellenőrzésnél se veszik észre).

*Ebből a szempontból ennyi is elég lett volna:

„Ezt számolhatod a koszinusztétellel, ha felrajzolod a –2*a, b és c alkotta háromszöget; vagy felbonthatod a két vektort egymásra merőleges i és j egységvektorokra. (Érdemes úgy választani az egyiket, hogy a = 4*√2*i legyen.)”

Ez esetben a kérdező is gondolkodhatott volna tovább, és nem kell másoknak tisztázni, hogy mi volt az a katyvasz az első válaszban.

†És akkor még azon is hosszan vitatkozhatna, hogy 'de, az igenis kapcsolódik a témához, és hogy tényleg azt az egyenletet megoldani a feladat, és mindenki más, aki szerint nem, az ostoba.'