Zrinyi matematika! Egy 49 oldalú szabályos sokszög két szomszédos csúcsából meghuzzuk az összes átlót. Hány olyan pont van a síkon, amely legalább két átlóra illeszkedik?

3

Nagyon egyszerű, csak le kell rajzolni. Ha ragaszkodsz hozzá...

De lehet szövegesen. Legyen a 2 pont neve A és B. Nézzük az A szemszögéből. Két átlója van. Az egyik amelyik a B pont fele megy metszi annak két átlóját. Ez eddig 2. A másik átlója csak 1 helyen metszi a B-ből kiinduló átlót. Ez már 3.

Hányadik osztályos feladat ez?

Csak a megoldás miatt kérdezem.

Gyakorlatilag azt kell mégnézni, hogy ha az egyik pontból meghúzod az összes átlót (A pont legyen), akkor ennél a sokszögnél ez 47 db átló lesz.

Ekkor felveszed a B pontot, ami az A pont alatti legközelebbi pont legyen. És elkezded számolni a metszéspontokat.

Haladjunk úgy, hogy az első B-ből induló átló az A ponthoz legközelebbi másik pont, tehát ami felette van. Ahhoz, hogy oda elérjen az átló, az összes már felrajzolt A pontból induló átlót metszi pontosan egyszer ez 47 metszéspont.

A második átlóval ugyanezt lejátsszuk, annyi különbséggel, hogy ott lesz még egy plusz pont, maga a sokszög A-tól második pontja (ebbe a pontba érkezik az A-ból húzott első átló), viszont ez már az első A-ból húzott átlót nem metszi. ez akkor 47 metszéspont pont.

Könnyen látható, hogy minden egyes újabb behuzott átló egyél kevesebb már behuzott átlót metszi, mint az előtte behúzott.

Így a megoldás 47+(47+46+45+...+1)

Ugye egy szabályos 49-szögben egy csúcsból 46 átló indul (saját magába és a szomszédos csúcsokba nem megy átló). Ha behúzzuk az egyik csúcsból az összeset, akkor azon a ponton kapásból 46 átló is átmegy, tehát a két csúcs az kapásból 2 jó pont.

A 13:20-as válaszban a gondolatmenet további része szerintem majdnem jó, innen én is azt követem (már csak a legvégén van egy hiba). Húzzuk be az egyik csúcsból a 46 átlót. A mellette levő csúcsból a másik mellette levő csúcsba húzott átló mind a 46-ot metszeni fogja, az emellett levő újra 46-ot metsz, és innentől kezdve mindegyik 1-gyel kevesebbet, az utolsó éppen 2-t (és ez a hiba, mert a 13:20-as 1-ig akarja összeadni a számokat). Ez egyrészt abból látszik, hogy ha valaki rajzol egy 7-szöget meg egy 6-szöget mondjuk, és megnézi, hogy az utoljára behúzott átló 2 másikat metsz; másrészt a második csúcsból is 46 átlót húzunk be, és az 1, 2, 3,… 45, 46, 46 számok 47-en lennének.

Szóval összességében a válasz, nem elfelejtkezve a 2 csúcsról:

2 + 46 + 46 + 45 + … + 3 + 2,

az első 2-est szétszedhetjük, és az egyik felét hozzáadhatjuk az első 46-hoz, a másikat odatehetjük az összeg végére:

47 + 46 + … + 3 + 2 + 1 = 48*47/2 = 1128.

Valóban jó így, köszi a kiegészítést.

Előző voltam!