Hogyan kell megoldani ezt a differencialegyenletet?

Ha az y/x-et helyettesítjük u-val, akkor ugye a jobb oldal valami olyasmi lesz, hogy

ln(x/y) + (1 + y/x)/(1 – y/x) = (1 + u)/(1 – u) – ln(u).

Hogy a bal oldalt kitaláljuk, deriváljuk az u-t x szerint:

u' = d(y/x)/dx = y'/x – y/x^2,

tehát

y' = x*u' + y/x = x*u' + u.

Ezt helyettesítve és u-t kivonva

x*du/dx = (1 + u)/(1 – u) – u – ln(u) = F(u),

ami szeparábilis, hiszen

du/F(u) = dx/x.

Szóval – ha jól számoltam – már csak integrálnod kell. Mondjuk a Wolframalpha nyavalyog ettől:

[link]