Valaki penge analízisből? Lenne pár kérdésem.

"Példa valós-valós fv-re, aminek a deriváltja sehol sem 0, mégis van szélsőértéke"

Például ha nem deriválható valahol, gondolj az |x| függvényre: deriválta +-1, ahol létezik, 0-ban meg szélsőértéke van.

"Példa valós-valós fv-re, aminek van lokális szélsőértéke, ami nem globális szélsőérték (x^2 jó?)"

Nem, nem a 0-ban lokális és globális szélsőértéke van. De egy általános alakú harmadfokú függvény jó, például az x^3-x. Ennek van lokális minimuma és maximuma is (a két pukli), de egyik sem globális szélsőérték, hiszen +végtelenbe és -végtelenbe tart a függvény a két szélén.

"Példa valós-valós fv-re, ami minden valós x helyen diffható, mégsincs szélsőértéke (x^3 jó?)"

Igen. De amúgy a sima x függvény is.

"Ha az f valós-valós fv periodikus, akkor végtelen sok zérushelye van -> Hamis (miért? pl sinx-nek végtelen sok van, és az periodikus is...)"

Létezik ellenpélda, pl. 10+sinx. Ennek nyilván nincs zérushelye, mindenütt pozitív.

"Ha egy f [0;+végtelen] -> R fv monoton és korlátos, akkor folytonos -> Hamis (miért?)"

Gondolj egy lépcsőfüggvényre, pl. 1/(1+[x]) ([x]=x egészrésze) Rajzold le, ha nem látod, hogy hogy néz ki. 0-hoz tart, egyre kisebbek a lépcsőfokok, de minden egész helyen szakadása van.

"Ha f valós-valós fv, akkor minden x eleme Df esetén f(|x|) = |f(x)| -> Hamis (miért?)"

Pl. -x függvény ellenpélda, de már kezdek fáradni, lehet, hogy benéztem.

"Ha az f valós-valós fv-nek létezik primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye létezik (miért? a +c miatt?)"

Így van. Ha találtam egy primitív függvényt, akkor hozzáadhatok pl. 1-et, így egy másik függvényt kapok, és ez a függvény is primitív függvény lesz, hiszen a konstans hozzáadása nem változtatja meg a deriváltat. Ugyanígy hozzáadhatnék 42-t, 28-at vagy gyökpi-t is, vagy bármilyen valós számot. Így végtelen sok különböző primitív függvényt találtunk ugyanahhoz a kiindulási függvényhez.

"Ha egy valós számsorozat konvergens, akkor monoton is. -> Hamis (ellenpélda?)"

Pl. 0-hoz váltakozva alulról-fölülről konvergálunk. Konkrét példa: 1/n*(-1)^n

"Van olyan fv., ami értelmezési tartományának egyetlen pontjában sem diffható. (|x| jó ide? vagy az csak x0-ban?)"

Az |x| csak a 0-ban nem diffható, az értelmezési tartományának a többi pontjában igen. A Dirichlet-függvény a legkényelmesebb példa, feltéve, hogy valaki ismeri ezt a függvényt. Talán barkácsolni is lehet, de most már nincs sok kedvem gondolkodni.

1. Az f(x) függvénynek kétféleképpen lehet (lokális) szélsőértéke; vagy ha az x=a helyen f'(a)=0, akkor a-ban lehet (de még akkor sem biztos, erre jó példa az x^3 függvény az x=0 helyen), vagy az adott pontban nem differenciálható. A differenciálhatóság kétféle lehet; vagy folytonos a függvény, csak bizonyos okokból nem differenciálható (mint az |x| függvény az x=0 helyen), vagy nem is folytonos (ilyen függvényt pedig nem nehéz definiálni, például legyen g(x)=x^2, ha x=/=0, és -1, ha x=0, ekkor a függvény minimuma x=0-ban -1 lesz, mégsem differenciálható az x=0 pontban, mivel nem folytonos).

2. Az x^2-nek csak lokális szélsőértéke van az x=0 pontban. Az x^3-x már jó lesz, gondold meg miért.

3. Erre a legtriviálisabb példa az x függvény, de az x^3 is jó.

4. Igen, de a sin(x)+2-nek már rögtön sincs egy sem. Az állítást általánosságban kell érteni, tehát MINDEN periodikus függvény tudja az állítottakat. Az pedig nem bizonyítja, hogy tudsz 1 olyat mutatni, ami tudja.

5. Ilyet is könnyen lehet kreálni, például a [x]+x függvény, ahol [x] a függvény egészrésze. Monoton, mégsem folytonos.

6. Erre is nagyon egyszerű ellenpéldát adni; ha f(x)=x+1, akkor |f(x)|=|x+1| és f(|x|)=|x|+1, nyilván |x+1|=/=|x|+1 tetszőleges x-re.

7. Pontosan.

8. Például a sin(n)/n. Konvergens, mivel a határértéke 0 lesz, de mégsem monoton.

9. Mivel az |x| mindenhol máshol differenciálható, ezért ez nem lesz jó. Erre tipikus példa a D(x), vagyis a Dirichlet-féle függvény. Mindenhol értelmes, mégsem differenciálható sehol.

"5. Ilyet is könnyen lehet kreálni, például a [x]+x függvény, ahol [x] a függvény egészrésze. Monoton, mégsem folytonos."

Itt nem vettem figyelembe, hogy korlátosnak is kell lennie. AZ 1. válaszoló példája viszont jó.

Nos, igen. Tényleg vannak véletlenek :)

Ha benne vagy, én is adok pár kérdést, csakhogy tudj gyakorolni;

Ha külön nem jelzem, akkor valós->valós mindig.

1. Létezik-e olyan függvény, amely nem differenciálható minden pontban, de négyzete igen? (Ez nekem anno ZH-példa volt).

2. Létezik-e egyszerre páros és páratlan függvény?

3. Létezik-e olyan függvény, amely nem konvergens, de sorozatként (vagyis x helyére csak természetes számok írhatóak) igen? És fordítva?

4. Igaz-e, hogy ha egy függvény korlátos, akkor deriváltja is korlátos? Illetve nemkorlátos függvény deriváltja lehet-e korlátos?

5. Lehet-e egy függvény adott helyett differenciálható, de nem folytonos?

Egyelőre legyen ennyi, nézzük, hogy ezekkel hogyan boldogulsz :)

1. Nem az a lényeg, hogy volt-e előadáson, hanem hogy a tanultakat tudod-e alkalmazni.

A feladatra triviális példa az |x| függvény. Ez ugyebár nem differenciálható az x=0 pontban, de ha négyzetre emeljük, akkor az (|x|)^2=x^2 függvényt kapjuk, ami viszont differenciálható.

Eszembe jutott, hogy valójában az volt a kérdés, hogy lehet-e, hogy az f(x) függvény nem folytonos, de négyzete igen. Ez már egy kicsit nehezebb, de nem sokkal.

2. Természetesen a konstans 0 függvény is függvény (definícióból adódóan), ezért igen, ez a válasz (valójában másik nincs is, csak a konstans 0 különböző halmazokon értelmezett megfelelő változatai).

3. Pedig erre nem nehéz példát mutatni; gyakorlatilag egy olyan divergens függvényt kell mutatni, amelynek van konvergáló részsorozata. Arra is érdemes gondolni, hogy egy függvény kétféleképpen tud divergálni. Gondolkozz még egy kicsit, és szerintem rájössz.

Az állítás megfordítása nem igaz, ugyanis tanultatok valami olyasmit, hogy ha egy függvény konvergens, akkor minden részsorozata (vagyis tetszőlegesen "kipakolunk" a függvényértékek közül végtelen sokat) is konvergálni fog. Ha egy sorozat divergens, akkor az arra fektethető bármilyen függvénynek lesz egy divergens sorozata, tehát a fenti állítás nem lesz rá igaz, így csak divergens lehet.

4a. Az sgn(x) függvény nem jó példának, mivel az is korlátos (többek között a -1 és az 1 is korlátai a függvénynek).

4b. Itt is ugyanaz igaz, mint amit már egyszer leírtam; attól, hogy mutatsz egy függvényt, amely nem példa az állításra, az nem jelenti azt, hogy az állítás nem igaz. Például ha azt mondom, hogy "Minden lánynak barna a haja", én pedig mutatok egy barna hajú lányt, azzal az állítást se nem igazolom, se nem cáfolom (feltéve, hogy legalább két lány létezik). Ugyanígy, ha azt mondom, hogy "Nem létezik barna hajú lány", és én mutatok egy fekete hajú lányt, megint csak nem vagyunk előrébb az állítás szempontjából. Azzal, hogy mutattál egy nem korlátos függvényt, melynek nem korlátos a deriváltja, ezzel nem cáfoltad az állítást.

De nem jársz messze az igazságtól, egy picit még finomíts a példán, és már jó is lesz.

5. Igen, pontosan így.

Kicsit még gondolkozz a kérdéseken, hátha sikerül rájönni. Azt elárulhatom, hogy a kérdések között van olyan, ami "sima" függvénnyel (mondjuk valami polinom, vagy sin(x), cos(x), ln(x), stb.) nem oldható meg, hanem neked kell konstruálnod olyat, ami igazzá teszi az állítást, vagy épp ellenpéldaként szolgálhat. Ereszd szabadjára a fantáziádat!

Nem akarlak elkeseríteni, de ezek egyszerűbb kérdések, és ha ezek nem mennek, akkor valószínűleg a nehezebbek, pláne vizsgahelyzetben, sem fognak menni. Nincs még semmi veszve, felkészülési időd még van bőven elég, de egy jó tanács; az előadáson elhangzottak között nem fogod a kérdésekre a választ megtalálni. Neked kell azokból a megfelelőket összeollózni, és azok alapján kilegózni a válaszokat. Sajnos máshogyan nem fog menni, és ez a vizsgára is vonatkozik.