(3+x) ⁴ intervalluma miért lesz mindig pozitív, míg a (3+x) ³ intervalluma -]∞;3] negatív és [3;∞[ pozitív?

-2^2=-2*-2=+4

-2^3=-2*-2*-2=-8

páros kitevő nem lehet negatív, páratlan igen.

A páros kitevőjű hatványfüggvények mindig pozitív eredményt adnak a valós számhalmazon, mivel "mínusszor mínusz az plusz", tehát (-x)*(-x)=x*x=x^2, és ugyanígy negyedik hatványra.

A harmadfokú polinomra (és mondjuk a negyedfokúra is) ajánlom, hogy tanulmányozd a képét: [link]

Ha megnézed, ugyanaz a zérushely, mintha az (x+3)^3=0 egyenletet megoldod. Innen nő és csökken.

Öhmm... Ha x=-3, akkor nem nagyon lesz pozitív. És a (3+x)³ a ]-∞;-3[ intervallumon lesz negatív, x=-3 esetén lesz 0, és a ]-3;∞[ esetén lesz pozitív.

"Ha páros a hatványkitevő, akkor lesz mindig pozitív az egész intervallum? Ha páratlan, akkor meg lesz inflexiós pont?"

Ez attól függ, hogy mit hatványozol; ha a hatványalap vehet fel pozitív és negatív értékeket is, és a hatványkitevő rögzített, akkor pontosan így van (illetve 0 pozitív hatványa mindig 0). Azonban ha egy olyan kifejezést hatványozol, amelynek minden értéke pozitív, mint például x^2+1, akkor az (x^2+1)^n minden n esetén minden x-re csak pozitív értéket fog adni, viszont ha olyat veszel, ami csak negatívat vesz fel, mint a -x^2-1, akkor a (-x^2-1)^n páratlan n-re mindig negatívat, páros n-re mindig pozitívat fog felvenni minden x-re.