Hogy kell megoldani az alábbi matek feladatot?

Tehát, ha jól értem, akkor az egész (a/b 3.gyök alatt b/a 4. gyök alatt a/b) a négyzetgyök alatt van, és a (b/a 4. gyök alatt a/b) még pluszban a 3. gyök alatt?

Ha így van, akkor első körben kezdjük ezzel:

b/a 4. gyök alatt a/b

Két dolgot kell tudni;

-ha egy nemnegatív számot hatványozol, majd ugyanazzal a számmal gyököt vonsz, akkor az eredeti értéket kapjuk vissza, például ha az 5-öt negyedik hatványra emeljük, majd negyedik gyököt kapunk, akkor 4.gyök(5^4)-nt kapjuk, aminek értéke 5. Negatív számok esetén egy kicsit más a történet, de itt a/b értéke nem lehet negatív, így b/a-é sem, ezért ezzel nem kell foglalkozni.

-azonos gyök alatt álló kifejezések szorzatát úgy is megkaphatjuk, hogy a gyök alatt állók szorzatát vesszük, és abból vonunk gyököt, például gyök(4)*gyök(16)=2*4=8, amit úgy is megkaphattunk volna, hogy gyök(4*16)=gyök(64)=8

Első körben tehát a b/a-ból kell nekünk 4. gyökös kifejezést variálni, ehhez 4. hatványra emeljük majd 4. gyököt vonunk, így 4.gyök(b^4/a^4) lesz belőle, így:

4.gyök(b^4/a^4) * 4.gyök(a/b) = 4.gyök((b^4*a)/(a^4*b)), itt még lehet egyszerűsíteni is, = 4.gyök((b^3*a)/(a^3*b))

A következő lépés, hogy ebből 3. gyököt vonunk. Itt azt kell tudni, hogy

-gyökös kifejezés gyökét úgy is megkaphatjuk, hogy a gyökszámok szorzatának gyöke lesz az úgy gyökszám.

Például 3.gyök(4.gyök(4096)=3.gyök(8)=2, ezt úgy is megkaphattuk volna, hogy 3*4=12, így 12.gyök(4096)=2.

Tehát 3.gyök(4.gyök((b^3*a)/(a^3*b))) értéke 12.gyök((b^3*a)/(a^3*b))

Ezután jön a/b * 12.gyök((b^3*a)/(a^3*b)) kiszámítása. Csak úgy, mint az előbb;

=12.gyök(a^12/b^12) * 12.gyök((b^3*a)/(a^3*b)) = 12.gyök((a^12*b^3*a)/(b^12*a^3*b), összevonás és egyszerűsítés után 12.gyök(a^10/b^10), ezt írjuk úgy át, hogy 12.gyök((a/b)^10)

Itt a gyökvonás annak a fordítottja lesz, mint eddig csináltuk; ahogyan két gyököt össze lehetett vonni eggyé, úgy szét is lehet bontani. Azt kellene elérni, hogy legyen ugyanolyan gyökszámunk és ugyanolyan kitevőnk, mivel láttuk 4.gyök(5^4) példáját. 10=2*5, máshogyan nem lehet felbontani a 10-et, a 12 pedig csak 2*6-ra, hogy legyen a kettő között azonos. Ezek alapján a kifejezés át tudjuk írni;

6.gyök(gyök((a/b)^5)^2), itt ha gyök((a/b)^5)^2)-re koncentrálunk, akkor a fentiek szerint értéke (a/b)^5 lesz, tehát a végeredmény: 6.gyök((a/b)^5).

Az átláthatóságot könnyítheti, hogy ha azt mondjuk, hogy legyen a/b értéke x, ekkor b/a értéke 1/x, az x-ekkel szépen végigjátsszuk a fentit, majd ha végeztünk, x helyére visszaírjuk az a/b-t.