Hogyan kell megoldani a következő feladatot. Feladat : Tekintjük az A (0, 0) B (21, 0) C (0,21) pontokat. Hány olyan pont van az ABC háromszög belsejében, amelynek mindkét koordintátája egész szám? - nem tudom, hogy kezdjek hozzá.

Ez egy speciális helyzetű derékszögű háromszög, amelynek két befogólyával könnyű lesz számolni.

Írd fel azt a lineáris függvényt, amelyik átmegy a B és C pontokon. Szerencsére ez azért ránézésre is látható, ez az f(x)=21-x függvény.

Nem egyértelmű, hogy mit ért a feladat a háromszög „belsején”, de ezt csak kétféleképpen lehet értelmezni, így szerencsére sok számolás nem lesz még így sem; vagy engedi a feladat, hogy a háromszög oldalairól is vegyünk pontokat, vagy nem. Én most úgy számolok, hogy engedi, és a másik esethez csak ki kell venni azokat a pontokat.

A vízszintes befogó pontjainak koordinátái úgy néznek ki, hogy a második koordináta mindig 0, az első pedig 0-tól 21-ig bármi lehet, de mi most az egészekre koncentrálunk. Ha az első koordináta 0, akkor a második legfeljebb annyi lehet, mint az előbb megadott függvényérték, vagyis a 21, 0-tól 21-ig 22 választási lehetőség van.

Ha az első koordináta az 1, akkor a másik pont koordináta legfeljebb 21-1=20 lehet, így 0-tól 20-ig van választási lehetőség, összesen 21.

Ezt folytatod egészen addig, míg az első koordináta 21 lehet. Az így kapott eredményelet összesdod, és az lesz a keresett számosság.

Ha belseje alatt az oldalakon belüli részt érti, tehát az oldalakról nem vehetünk pontokat, akkor a fentiből le kell vonni 63-at, ugyanis ennyi pont van az oldalakon.

*befogójával

A telefon átírta, és nem vettem észre...

Ha csak a háromszög belsejébe eső pontokat engedjük meg, akkor a megoldás az

n = (x - 2)-ik háromszögszám. (Az x a B pont x koordinátája)

Az n-ik háromszögszám

H(n) = n(n+ 1)/2

A feladatban

n = 21 - 2 = 19

ezért

H(19) = 19*20/2

H(19) = 190

==========

Ha az átlóra eső pontokat is megengedjük, akkor az eggyel nagyobb háromszögszám a megoldás, vagyis

H(20)= 210

=========

Ha veszel egy négyzetrácsos papírt, kis gondolkodás után rájöhetsz a megoldásra.