Mekkora egy háromszögben két négyzet (? )
Feladat: Egy derékszögű háromszögbe négyzetet írunk két módon:
1) az egyik csúcs a derékszög csúcsa, egy az átfogón, kettő a befogókon,
2) két csúcs az átfogón, egy-egy pedig a befogókon legyen.
Melyik négyzet területe a nagyobb?
válasza:Tekintve, hogy négyzetről van szó, azt csak egyféleképpen tudjuk belerajzolni a háromszögbe, különben téglalap lesz belőle.
Az első esetben a négyzet az egyik oldalán "áll", a másik esetben pedig el van forgatva x fokkal és a csúcsán áll. Ha lerajzolod magadnak, akkor szerintem meg fogod érteni, hogy miről beszélek.
Mivel ugyanaz a két négyzet, ezért ugyanakkora területet is foglalnak el, ergo a két négyzet ugyanakkora területű.
válasza:De tessék, lerajzoltam paintben, hogy egyértelmű legyen:
Elég bénácska négyzet lett a második, de a lényeg, hogy a csúcspontjai hol vannak.
Tökéletesen értem, hogy mire gondolsz, csak a következtetésed nem győz meg, miszerint
"Mivel ugyanaz a két négyzet, ezért ugyanakkora területet is foglalnak el..."
Miből gondolod, hogy egyformák a négyzetek?
Pont azt kellene bizonyítani vagy cáfolni, hogy a két négyzet ugyanaz-e?
Az egyáltalán nem "bénácska" ábrád tökéletesen alkalmas arra, hogy kiszámold a két négyzet oldalát.
Egyébként szerintem az ábrádon úgy látszik, hogy nem egyforma a két négyzet...
De az "úgy látszik" nem bizonyítás, valami szakszerűbb eljárás kellene. :-)
válasza:"Miből gondolod, hogy egyformák a négyzetek?"
Mint mondtam máshogy nem tudsz négyzetet rajzolni bele. Nem tudom feltűnik-e, de a két négyzetnek a pontjai ugyanannak a képzeletbeli körnek a sugarán vannak, ergo a két négyzet ugyanaz. Szerintem ezen felesleges bármit is számolni, mert teljesen evidens a dolog, de ha gondolod, akkor nekiállhatsz. A háromszög oldalai legyenek mondjuk a,b,c; a négyzet oldalai pedig legyen d. Sok sikert a több oldalas számoláshoz!
válasza:"Miből gondolod, hogy egyformák a négyzetek?"
Egyáltalán nem ugyanaz a két négyzet.
Mindkét esetben ki kell számolni a négyzet oldalát, két különböző szám fog kijönni.
Ezt hasonlóságokkal lehet többek között megtenni.
Kell hozzá segítség vagy innen már megy, hogy kaptál hozzá egy szép rajzot?
Az az igazság, hogy nekem már van egyféle megoldásom, de kíváncsi lennék, milyen más módszer lehet még.
Kedves Ifjutitan!
Ha nem tolakodó a kérés, leírnád a megoldásodat?
válasza:Nekem ez jött ki:
Amikor a két befogóra illeszkedik a négyzet. Akkor a jobb oldali derékszögű háromszög hasonló a nagyhoz.
A négyzet oldala legyen x.
A hasonlóság arány x/b (a kis háromszög bal oldali befogója x)
A háromszög másik befogója eszerint:
a*x/b
Az 'a' oldal felírható úgy, mint 'x' + 'a*x/b'
Ezt megoldva kijön x:
a=x + a*x/b /*b
ab = b*x + a*x
x = ab/(a+b)
Amikor az átfogón van a négyzet oldala:
A bal alsó kis háromszög hasonló az eredetihez.
A hasonlóság arány x/c (a kis háromszög átfogója x)
Az 'a' oldalon fekvő befogó hossza: a*x/c
A jobb alsó derékszögű háromszög is hasonló az eredetihez.
A hasonlóság arány x/b.
A kis háromszög 'a' oldalra fekvő átfogójának hossza: c*x/b
Tehát most az egyenlet:
a = a*x/c + c*x/b
Innen x-et kiemelve:
a = x * ( a/c + c/b)
Közös nevező a jobb oldalon:
a = x * (ab+c^2)/bc
x = abc/(ab+c^2)
Ha el nem számoltam, akkor ez a két végeredmény.
Kedves Ifjutitan!
Bocs, hogy ilyen későn jelentkezem, de közbejött valami.
Nem felejtkeztem el rólad, ls köszönöm, hogy időt szántál a válaszod leírására.
A levezetésnél nem számoltad el magad, korrektek az eredményeid.
Csak két megjegyzésem lenne:
Az első változatnál ki lehet abból is indulni, hogy a négyzet átlója a derékszög szögfelezőjének
√2-ed része
A második változatnál, ha más módon használod a hasonlóságot, talán rátalálsz az erre az esetre érvényes általános mintára.
Bizonyítás nélkül:
Egy háromszög valamely oldalára illeszkedő négyzet oldala egyenlő a kiválasztott oldal és a hozzá tartozó magasság harmonikus közepének a felével.
Ezzel
x1 = a*b/(a + b)
x2 = c*m/(c + m)
Az x2 képletébe behelyettesítve az m = a*b/c összefüggést, akkor az általad leírt formulát kapod.
Ha érdekelnek a részletek, szívesen megírom privátban.
válasza:Egy szóval nem írtam, hogy máshogy nem lehet megoldani.
A matematikában egy feladatnak általában több azonos értékű levezetése is van.
Amiket leírtam, az 9-es tudással megérthető.
Nem igazán értem a támadó hangnemet, hiszen a megjegyzéseim is téged igazolnak.
Egyébként csak jelezni szerettem volna, hogy ebben a feladatban több szépség van, mint elsőre látszik, olyanok, amik "9-es tudással megérthetők".
Végül: adós vagy még a feladat kérdésének megválaszolásával.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!