Mennyivel egyenlő sin2x/ (3+cos2x), tudva, hogy tgx=2?

tg x = 2

vegyük a négyzetét:

sin²x/cos²x = 4

Legyen z = sin²x

z/(1-z)=4

z = 4-4z

z = 4/5

Vagyis sin²x = 4/5

És cos²x = 1-sin²x = 1/5

Be tudod fejezni?

A kifejezés átalakítása után egyszerű behelyettesítés lesz a feladat, tekintve hogy

sinx = tgx/√(1 + tg²x)

cosx = 1/√(1 + tg²x)

és tgx = 2

A megoldás: 1/3

Még annyit sem kell hozzá tudni, amit a 4-es ír.

Elég annyi, hogy sin(2x)=2sin(x)cos(x) és cos(2x)=(cosx)^2-(sinx)^2.

Ezzel a tört 2sin(x)cos(x)/[3+(cosx)^2-(sinx)^2].

Most bővítünk 1/(cosx)^2-el, ekkor tudva hogy tgx=sinx/cosx, ezért

2tgx/[3/(cosx)^2+1-(tgx)^2.

3-al ki lehet emelni és tudjuk hogy 1=(sinx)^2+(cosx)^2, ezért az jön ki hogy:

2tgx/[3(tgx^2+1)+1-tgx^2]

összevonva:

tgx/(2+tgx^2), amiből valóban 1/3 lesz, ha tgx=2.

Látjuk tehát milyen egyszerű, csak végig kell vezetni.