Gyök alatt x-5=x négyzet-5 mennyivel egyenlő és mi a levezetése?

Az előző nem vette észre, hogy negyedfokú egyenleted lesz, amit nem lehet egykönnyen megoldani. Egy trükk kell:

Tekintsd az y=gyökalatt(x+5) függvényt.

Ennek az inverzét megkapod, ha x-et és y-t felcseréled és kifejezed az y-t, azaz:

x = gyökalatt(y+5) (itt x>=0 kell legyen, hogy az inverze legyen)

x^2 = y+5

x^2-5 = y

Ez tehát a függvény inverze. Ha ábrázolod, akkor látod, hogy a két függvény az első síknegyedben egy pontban metszi egymást. De egy függvénynek és az inverzének a grafikonja mindig szimmetrikus kell legyen az y=x egyenletű egyenesre nézve, tehát ha az első síknegyedben egy metszéspont van, az rajta kell legyen az y=x egyenesen. Ezt a metszéspontot megkeressük:

x=x^2-5

Megoldások: (1+gyök(21))/2 és (1-gyök(21))/2

Ez utóbbi hamis gyök, de ha lerajzolod, és átgondolod, akkor látszik, hogy megoldása a -gyök(x+5) = x^2-5 egyenletnek (a két függvénygörbe "meghosszabbításainál") és hogy ez a pont is az y=x egyenesen van.

Tehát az előbb megoldott x^2-x-5=0 egyenlet gyökei megoldásai annak a negyedfokú egyenletnek, amit az előző válaszoló ajánlott.

Ez a négyzetre emelt egyenlet rendezve így fest:

x^4-10x^2-x+30 = 0

Az elmondott gyökök ennek is gyökei, emiatt a baloldal osztható kell legyen (x^2-x-5) -tel.

A polinommal elosztva ezt kapom arra a negyedfokú egyenletre:

(x^2--x-5)(x^2+x-4)=0

Már csak ezt kell megoldanod:

x^2+x-4=0

Ennek is lesz két gyöke, ezek közül a kisebbik jó, a nagyobbik hamis gyök lesz (látszik a grafikonról is...) és ez a (1+gyök(21))/2-vel együtt adja a két végső megoldást.

Szép feladat!

szóval x^2-5=(x-5)(x+5)=sqrt(x+5) először x+5=0 az nyilván megoldás, tehát egy gyök az x=-5. Egyébként leoszthatunk sqrt(x+5)-vel, lesz belőle (x-5)sqrt(x+5)=1 , legyen most sqrt(x+5)=a, tehát (a^2-10)a=1. azaz a^3-10a-1=0. Most örülünk kicsit hogy a harmadfokú egyenleteknél szokásos első lépést elhagyhatjuk mert a^2 nincs, és feltesszük, hogy van olyan b+c=a és majd később még alkalmazunk valamilyen megszorítást b-re és c-re. Most akkor ezt beírva, b^3+3b^2c+3bc^2-10b+c^3-10c-1=b^3+3bc(b+c)-10(b+c)+c^3-1=b^3+c^3+(3bc-10)(b+c)-1

Most kikötjük hogy c=10/(3b) legyen, azaz b+10/3b=a ami tetszőleges a-re egy másodfokú egyenlet, simán megoldható. Na, ezt visszaírva:

b^3+1000/(26b^3)-1=0

ami b^3-t d-vel helyettesítve egy másodfokú egyenlet:

d^2-d-1000/27=0

Ezt megoldod, utána köbgyököt vonsz belőle, az lesz b, kiszámolod b+10/3b-be az lesz a, végül a^2-5 lesz x. Szép kis sütemény. Harmadfokú egyenlet oldjon meg aki ráér :P

Utolsó! Ezt írod:

x^2-5=(x-5)(x+5)

Hát ezzel alaposan mellényúltál, ez nem igaz! És az 5 nem is megoldás, helyettesíts be!

A tippem, hogy ezzel kevered:

x^2-25=(x-5)(x+5)