Melyik erősebb kikötés erre az egyenletre?

> Viszont annyi hibát találtam abban mait mondtál, hogy az nem egyenlőtlenség, hanem ellentmondás

Meglehet. Nézőpont kérdése. Nyilván ha az eredeti egyenletbe behelyettesíted a megoldást, akkor egy olyan egyenletet kapsz, aminek a két oldala nem egyenlő. Ez így valóban ellentmondás. Ha viszont azt a jelölést használod – lehet általános iskolában nem használják –, amit én, akkor meg egyenlőtlenséget kapsz.

1 = 2

Ez ellentmondás.

1 ≠ 2

Ez egyenlőtlenség.

~ ~ ~

#9 : Miben látod a lebutítást? Mert nyilván ha a kikötésekkel van baja a kérdezőnek, abból az következik, hogy a jelenlegi matematika ismeretei valóban lebutítottak, kizárólag a valós számok körében vizsgálódunk. Nyilván komplex számok esetén a gyökvonás fogalma is átértelmeződik, bár a kérdéses egyenletnek a komplex számok halmazán sincs megoldása. Ha emiatt írtad a lebutítást, akkor nyilván az, csak a kritika nem ettől nem jogos. Merthogy az egész matematika oktatás egy lebutításból indul, amit aztán később kiterjesztünk, pontosítunk. Pl. az ember pár évesen megtanulja, hogy három almából nem lehet elvenni négyet. Mert ott még a természetes számok körében vagyunk. Aztán az általános iskola első pár évében kiderül, hogy mégis ki lehet vonni háromból négyet – immár egy absztrakt szám fogalommal dolgozva –, mert ott már átléptünk az egész – így a negatív – számok körébe. Aztán megtanítják, hogy 7 nem osztható 4-el. Majd jönnek a törtek, a racionális, illetve valós számok, és rögtön kiderül, hogy 7 simán osztható 4-el, és 1,75 lesz az eredménye, az eredeti oszthatóságot meg újradefiniáljuk, pontosítjuk: 7 nem osztható 4-el *maradék*nélkül*. Aztán megtanulja az ember, hogy negatív számból nem lehet gyököt vonni. De jönnek a komplex számok, amelyek halmazán már értelmezhető egy negatív szám gyöke is. De a kérdező nyilvánvalóan még nem tart itt.

De ha nem ezt értetted lebutítás alatt, akkor légy kedves, és oszd meg velünk, hogyan is kellene egzakt, nem lebutított módon megválaszolni a kérdező kérdéseit úgy, hogy az ő tudásszintjével is értelmezhető legyen.

" De jönnek a komplex számok, amelyek halmazán már értelmezhető egy negatív szám gyöke is. De a kérdező nyilvánvalóan még nem tart itt."

A fene se akar ezen a szinten gyököt vonni negatív számból, de ennek köze nincs ahhoz, hogy egy pozitív szám négyzetgyöke ugyanúgy lehet negatív, mint pozitív.

Az y=y(x) függvény kétértékű, ha ezt játszásiból le is tagadjátok!

"egy pozitív szám négyzetgyöke ugyanúgy lehet negatív, mint pozitív"

Nem lehet, ne hazudozz.

> De ennek köze nincs ahhoz, hogy egy pozitív szám négyzetgyöke ugyanúgy lehet negatív, mint pozitív.

Linkeltem már egyszer, de akkor még egyszer tisztázzuk:

[link]

”Ha a nemnegatív valós szám, akkor a négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete a.”

[link]

„Definíció: Egy nemnegatív valós szám négyzetgyöke az a nemnegatív valós szám, amelynek a négyzete az eredeti szám.”

~ ~ ~

Egy nemnegatív szám négyzetgyöke a valós számok halmazán tehát definíció szerint nem lehet negatív szám. Illetve nyilván a gyök alatt nem állhat negatív szám. Pont.

Az oké, hogy nem értesz egyet a négyzetgyök ezen definíciójával, de akkor rajtad áll innen a feladat, hogy keress egy olyan lexikont, matematika tankönyvet, akármit, ami alátámasztja a te definíciódat.

~ ~ ~

Miért ilyen a definíció? Praktikus okokból. A matematika sok ágában számolunk nemnegatív valós számokkal, vagy alapestben (a geometriában nincs negatív távolság), vagy az adott esetben (mondjuk egy 1 és 2 közé eső számot keresünk, pl. mint határértéket, ahol valahogy a keresésbe belekerült egy négyzetgyök).

Ha √4 lehetne -2 is, akkor rögtön át kellene írni a Pitagorasz-tétel átalakított változatát:

c = √(a² + b²)

helyett abszolút értéket is kellene venni:

c = |√(a² + b²)|

Vagy még egy meggyőző érvként ott van a másodfokú egyenlet megoldóképlete:

x₁,₂ = [-b ± √(b²-4ac)] / 2a

Ha egy szám gyöke alatt a negatív számot is értjük egyben, akkor mi szükség a képletben a ± jelre? Hiszen akkor elég lenne egy + vagy egy - jel is, a gyök úgyis hozná a diszkriminánst és annak a (-1)-szeresét is egyben.

Na ez az az eset, ahol kell egy négyzetgyöknek a pozitív és negatív megoldás értelmezése is (kettő az egyben), de mivel a négyzetgyök csak nemnegatív lehet, ezért kell a ± jel. Viszont ez a ritkább eset, inkább ez kapjon extra jelölést, mint a gyakrabban jelzett eset.

A definíció szerint:

√4 = 2 (Ez a gyakoribb felhasználás, nem igényel extra jelölést.)

±√4 = -2 vagy 2 (Ez a ritkább eset, extra jelölést igényel.)

A te elképzelésed szerint:

√4 = -2 vagy 2 (Ez a ritkább, és ez nem igényelne extra jelölést.)

|√4| = 2 (Ez a gyakoribb, és ez igényelne extra jelölést.)

Ez nem praktikus, így nem is a te elképzelésed alapján definiálták a négyzetgyök műveletét.

~ ~ ~

A hatványozás már kicsit érdekesebb dolog. Ugye a négyzetgyök felírható törthatványként is:

√a = a ^ (1/2)

Itt a racionális törtkitevő kicsit bekavar, ha az alap negatív. Pl.:

(-64) ^ (1/3) = ∛(-64) = -4 ?

Viszont ha bővítem a törtet, azaz 1/3-ból 2/6-ot csinálok (ugye 1/3=2/6):

(-64) ^ (1/3) = (-64) ^ (2/6) = ⁶√((-64)²) =⁶√4096 = 4

vagy

(-64) ^ (1/3) = (-64) ^ (2/6) = (⁶√(-64))² =(-2)² = 4

De ha visszafordítom ezt a bővített törttel számolt eredményt, ellentmondásra jutok:

4³ = 64 ≠ -64

Na itt a matematika már nem egységes. A négyzetgyökre – ami egy speciális törtkitevős hatványként is értelmezhető – van egy speciális definíciónk. A többi törtkitevős hatványnál – ide értve pl. a köbgyököt – bármilyen levezetés, bizonyítás előtt – vagy közben – tisztázni kell, hogy pontosan mit értünk az adott esetben ezen a műveleten. Ha simán köbgyökkel kell csak számolni, akkor le kell írni, hogy egy negatív szám köbgyökén azt a negatív számot értjük, aminek a köbe az eredeti szám. Vagy le kell írni, hogy negatív szám köbgyökét úgy értelmezzük, hogy annak nincs megoldása.

Az irracionális kitevőkre meg még cifrább a dolog, azt határértékként lehet definiálni:

a^b = lim[x→b] a^x

Ahol x racionális szám. Ha most itt megengednénk, hogy egy gyök eredménye negatív is lenne, akkor nem kapnánk egy konvergens sort, így nem lehetne határértéket sem számolni. Illetve ugye itt az a^x abszolút értéke ugye konvergens, de ezt alapul véve nem lehetne eldönteni, hogy az adott irracionális kitevőjű hatványt kiszámolva az eredmény milyen előjelet kapjon. Újabb indok, hogy miért nem kell ide bekeverni a negatív számokat, mit gyökvonás műveleti eredményt.

~ ~ ~

Értem én, hogy nem tudod, nem jól tudod a négyzetgyök definícióját. Semmi gond, csak akkor nem érdemes matematikai kérdésekre válaszolni. Oké, lehet, hogy jól értesz a matekhoz, csak ez az egy dolog csúszott félre. De akkor meg ha felmerül annak a lehetősége, hogy esetleg nem jól tudod azt, amit tudni vélsz, előbb utánanézel a dolognak, mielőtt reflektálnál. Én meg voltam győződve, hogy a négyzetgyök csak nemnegatív lehet, párszor már előkerült ez a kérdés, mégis vettem a fáradtságot, hogy azért biztos, ami biztos, így tizedszer is rákeressek. Be is linkeltem az #5 válaszom alján, de te még ezt sem nézted meg, mégis kötöd az ebet a karóhoz. Ez nem éppen helyes attitűd. Egyrészt hibás válaszokat adsz, másrészt ezzel csak összezavarod a kérdezőt.

(x-1)(x+1)=0 -> x1=+1; x2=-1

x^2-1=0 -> x=+1

y=x^2

inverze

x=y^2 -> y=abs(x^1/2)

pártpolitikai döntés!

Értettem! Kérek engedélyt meghunyászkodni!

Befejeztem!

#17 > pártpolitikai döntés!

Alapvetően rátapintottál a lényegre az egyik oldalról, a másik oldalról meg pont nem erről van szó. Vegyünk egy másik kérdést, a természetes számok halmazába beletartozik-e a nulla? Szól mellette is, ellene is érv. Bizonyos esetekben nemnegatív egészeket vizsgálunk, és jó erre egy külön nevet találni, és kényelmesebb „nemmegatív egész számok” helyett „természetes számokat” írni. Néha meg kimondottan pozitív egészek körében vizsgálódunk, és ott megint praktikusabb – tömörebben megfogalmazható –, ha a „pozitív egész szám” helyett írjuk azt, hogy „természetes szám”.

Definíciós kérdésről van szó. Van egy fogalom, egy szó, egy szókapcsolat, és ahhoz rendelünk valamiféle jelentéstartamot. Ez nem a matematika összefüggéseiből adódik, hanem teljesen önkényes döntés. A matematikának nincs országgyűlése, vagy nincs egy nemzetközi feje, matematikusok dolgoznak ki különböző levezetéseket, rendszereket, előfordul, hogy ugyanannak a fogalomnak más-más értelmezését használják. De idővel egy-egy matematikus szóhasználata, definícióját veszi át mindenki. Afféle szokásként.

A négyzetgyök fogalma a matematikában annyira egységes jelentéstartammal bír, hogy kvázi mindenki így használja. Mert történelmileg így alakult. A természetes számok már kicsit neccesebb kérdés. Volt és ma is van, aki beleveszi a nullát, és van, aki nem veszi bele. Nyilván egy általános iskolai oktatásban csak az egyiket, az elterjedtebb definíciót tanítják – és kérik számon –, hogy ne zavarják össze a diákot. Mert a matematika önmagában egységes, de a definíciók az önkényes voltukból fakadóan nem feltétlenül azok, de ezzel a diák elveszíti a matematika iránti bizalmát, a megbízhatóság, egyértelműség érzését. Ezért tanítanak csak egyféle matematikát.

Szóval az általános iskolában megtanítják, hogy a természetes számok azon egész számok, amik pozitívak és ide tartozik még a nulla is (azt hiszem ma így tanítják). És punktum. Aki mást mond, az rosszul tanulta meg a tananyagot. És ez rendjén is van így. De amint kicsit komolyabb szintre kerül valaki a matematikában, az megtanulja, hogy ez csak egy első közelítés volt, igazából ez nem annyira egységes. Bizonyos számelméleti kérdéseknél kényelmesebb, ha nem vesszük bele a nullát, mert rengetegszer kellene kikötni, hogy „nullánál nagyobb természetes szám”. Ilyenkor érdemes megint vagy tisztázni az elején, hogy mit értünk jelen levezetésnél, bizonyításnál, publikációnál természetes szám alatt, vagy használni az egyértelműbb jelölést:

ℕ* vagy ℕ₀ = {0,1,2,3,…}

ℕ⁺ vagy ℕ₁ = {1,2,3,…}

~ ~ ~

Röviden, a matematika definíciói – hogy milyen szó, kifejezés alatt mit értünk – önkényesek. Néhány esetben úgy a szokás emelt ki egy-egy definíciót, és ezért használja mindenki ezt. De mivel nincs a matematikának legfelsőbb bírósága, néhány definíciónak akár többféle értelmezése is él egyszerre, ki ezt, ki azt használja.

~ ~ ~

Ha a praktikusság úgy kívánja, egy matematikai levezetésben, bizonyításban, publikációban az elején felüldefiniálhatsz fogalmakat, és mondhatod azt, hogy te a továbbiakban a egy szám négyzetgyökén azon – akár negatív –számok halmazát érted, aminek a négyzete az eredeti szám. Kicsit furán fognak nézni rád, de ha így praktikus, és a levezetésed helyes, akkor oké. De nyilván nem általános vagy középiskolában teheted meg ezt, ahol azt várják tőled vissza, amit megtanítottak, hanem mikor önálló matematikai munkát végzel.