Melyik erősebb kikötés erre az egyenletre?

> Ennél melyik az erősebb kikötés?

Erősebb? Mindkettő ugyanolyan „erős” kikötés. A kikötés az kikötés.

> melyik fog érvényesülni?

Mindkettő.

> Hiszen egymásnak ellent mondanak!

Ebből következően nincs olyan x, ami megfelelne mindkét kikötésnek, így az egyenletnek nincs megoldása. És itt vége is a történetnek. (Pont az a becsapós ebben a feladatban, hogy ha nem teszed meg a megfelelő kikötéseket, akkor nem valódi megoldásokat fogsz kapni.)

> Hiszen a kikötést az egész egyenletre írjuk, nem csak az egyik felére!

Kikötést az x-re írjuk fel. Vagy más nézőpontból nézve olyan kifejezésre, műveletre, aminél az értelmezési tartomány vagy az értékkészlet egy jól meghatározott intervallumra esik, ami nem a ]-∞,∞[ intervallum.

-5 négyzete valóban +25. De egy (nemnegatív) szám négyzetgyöke alatt azt a !nemnegatív! számot értjük, aminek a négyzete az eredeti szám. Tehát:

a = √b ⟺ a² = b, ahol a≥0 és b≥0

Szóval…:

5² = 25

-5² = 25

√25 = 5

Viszont:

√25 ≠ -5

Ha mindkettő gyökre szükség van, azt külön szoktuk jelölni:

±√25 = -5, +5

Ergo a kikötések jól. Negatív számból nem lehet gyököt vonni, tehát:

x-3≥0

x≥3

Egy szám négyzetgyöke sem lehet negatív a négyzetgyök definíciója miatt, tehát:

2-x≥0

2≥x

x≤2

~ ~ ~

Hogy miért értjük egy szám négyzetgyöke alatt csak a pozitív megoldást? Mert a legtöbb esetben így praktikus. Aki nem hiszi, járjon utána:

[link]

[link]

Oké, oldjuk meg az egyenletet a kikötések – elfogadhatatlan, felháborító – elhagyásával. :-)

√(x-3) = 2-x

x-3 = (2-x)²

x-3 = 4 - 4x + x²

0 = 7 - 5x + x²

A másodfokú egyenlet megoldóképletében a diszkrimináns:

D = b² - 4ac = (-5)² - 4*1*7 = 25 - 28 = -3

Persze kihozhatod a végén így is:

-x² + 5x - 7 = 0

A diszkriminánson ez mit sem változtat:

D = b² - 4ac = 5² - 4*(-1)*(-7) = 25 - 28 = -3

Nézzünk egy baromi egyszerű példát:

x-1 = √4

Oké, rossz napunk van, fáradtak vagyunk, nem vesszük észre, hogy a feladat megoldható négyzetre emelés nélkül:

x-1 = 2

x = 3

Nem vettük észre ezt, és ezért elkezdjük máshogy megoldani:

Itt kell tenni egy kikötést:

x-1≥0

x≥1

Ugye mivel a bal oldalon egy nemnegatív szám szerepel, így a jobb oldalon is egy nemnegatív számnak kell szerepelnie. Máshogy nem lehet. De itt van olyan x, ami meg tud felelni a kikötésnek, tehát itt folytatni kell a megoldást.

Nézzük mi történik, mikor négyzetre emeljük az egyenlet két oldalát:

(x-1)² = 4

x² - 2x + 1 = 4

x² - 2x - 3 = 0

Ha behelyettesítjük a másodfokú egyenlet megoldóképletébe, ezt kapjuk:

x₁ = -1

x₂ = 3

Remek, helyettesítsük vissza:

I.

x-1 = √4

(-1)-1 = √4

-2 = √4

-2 = 2

Hoppá. Mi történt itt pontosan? Ez a megoldás nem felelt meg a feltételnek. Mi volt a feltétel?

x ≥ 1

Viszont x₁ < 1.

Akkor itt bizony az egyenlet bal oldalán egy negatív szám lesz, a jobb oldalán a gyökvonás definíciója szerint meg egy nemnegatív számnak kell lennie. Ez egy egyenlőtlenség.

-2 ≠ 2

De ha mindkét oldalt négyzetre emeljük, ebből az egyenlőtlenségből egyenlőség lesz:

(-2)² = 2²

4 = 4

Ez itt a gond. Ami a megoldás során egyenlőséggé vált a négyzetre emeléssel, az eredetileg egy egyenlőtlenség volt. Ezért szabad csak akkor négyzetre emelni egy egyenlőség mindkét oldalát, ha vagy mindkét oldal nemnegatív, vagy mindkét oldal nempozitív. Mert ha az egyenlőség egyik oldala pozitív, a másik negatív, az nem lehet egyenlő ugye, de egy négyzetre emelés során egyenlővé válik az egyenlet két oldala.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

A kikötésnek eleget nem tevő megoldás tehát mindenképpen egy hamis gyököt, hamis megoldást fog adni. Ha nincs olyan x, ami megfelelhetne a kikötésnek, akkor még ha megoldható is lenne az egyenlet, a megoldásai hamis gyökök lesznek, amikre az egyenlet nem fog fennállni. Ezért nincs is értelme megoldani az egyenletet, hiszen tudjuk, hogy nem lehet valós megoldása.

Nézzünk egy másik példát:

√(2x²+2) = x-3

Itt a bal oldalon egy nemnegatív szám áll, tehát a jobb oldalon is egy nemnegatív számnak kell szerepelnie, különben nem fog igaz lenni az egyenlet. Ezért kell egy kikötés:

x-3≥0

x≥3

Ha most négyzetre emeljük az egyenlet két oldalát – ami ugye veszélyes üzem, mert egyenlőtlenségből is egyenlőséget tud csinálni, lásd -2 ≠ 2, de (-2)² = 2² ahogy fentebb rámutattam –, a következőt kapjuk:

2x² + 2 = (x-3)²

2x² + 2 = x² - 6x + 9

x² + 6x - 7 = 0

Megoldva:

x₁ = -7

x₂ = 1

Egyik sem felel meg a kikötésnek, de nézzük meg, mi van, ha visszahelyettesítjük:

√(2x²+2) ≟ x-3

√(2(-7)²+2) ≟ (-7)-3

√100 ≟ -10

10 ≠ -10

Ugye itt az történt, hogy ennek a 10 = -10 egyenlőtlenség mindkét oldalának vettük a négyzetét, ami 100 = 100 -á alakult, ami mindjárt egyenlőség.

Nézzük a másik megoldást:

√(2x²+2) ≟ x-3

√(2*1²+2) ≟ 1-3

√4 ≟ -2

2 ≠ -2

(Ugyanaz történt.)

Tehát hiába oldottad meg az egyenletet, egyik megoldás sem felelt meg a kikötésnek, így ezek szükségszerűen és elkerülhetetlenül hamis gyököket adtak.

~ ~ ~

Röviden: Ha a kikötésnek már eleve nem felelhet meg egyetlen szám sem, akkor bármi is jönne ki a megoldásból, az hamis gyök lenne látatlanul is. Így semmi értelme nincs megoldani az egyenletet, az csak időpocsékolás.