Írjuk fel az x^2+y^2=12 körhöz rajzolt egyenlő oldalú háromszög oldalegyeneseinek egyenletét, és számítsuk ki a háromszög csúcsainak koordinátáit ha az egyik csúcsa az y tengely pozitív oldalára illeszkedik. Valaki eltudná magyarázni a lépéseket?

Úristen!

Nem, bocs, ne b.assz le, kérlek, nem tudom.

Ez borzalmas.

Szegény te!

Az y-tengely átmegy a kör középpontján (ami a (0;0) pont)), ráadásul azon van a háromszög egy pontja, így az y-tengely a háromszög magasságvonalára illeszkedik, ami merőleges a háromszög egyik oldalára. Speciálisan ez egy "függőleges" egyenes, erre merőleges a "vízszintes", vagyis az y=valamiszám alakú egyenes.

Nézzük meg, hogy az y-tengely hol metszi a kört. Az y-tengely pontjairól tudjuk, hogy mindegyik első koordinátája x=0, ezért ezt írjuk be a kör egyenletébe:

0^2+y^2=12, erre y=+-gyök(12) jön, azonban nekünk a negatív megoldás kell (ez a rajzból könnyen kiderül), tehát az y-tengely a kört a (0;-gyök(12)) pontban metszi, ezen az y=-gyök(12) egyenletű egyenes halad át.

Most kihasználjuk azt, hogy a kör középpontja egyben a háromszög súlypontja is. Tudjuk, hogy a súlypont a súlyvonalakat 1:2 arányban osztja az oldalaktól mérve. A szabályos háromszög esetén a magasságvonal egybeesik a súlyvonallal, vagyis az is az y-tengelyre esik. A súlypont a "vízszintes" oldaltól gyök(12) távolságra van, így a csúcstól 2*gyök(12) távolságra lesz, így meg tudjuk határozni a háromszög egyik pontját, ami az A(0;2*gyök(12)) pont lesz.

Speciálisan a szabályos háromszögnél ez az 1:2 arány a beírt és a köréírt körök sugarainak arányát is kifejezi (mivel a két kör koncentrikus, vagyis ugyanaz a középpontjuk), így a kör középpontja 2*gyök(12) távolságra van a háromszög csúcsaitól. Legyen a B csúcs koordinátái (x;-gyök(12)), ekkor felírjuk a távolságképletet:

(x-0)^2+(-gyök(12)-0)^2=(2*gyök(12))^2, erre x=+-6 adódik.

Innen már be tudod fejezni?

Egy másik megoldás:

[link]

Az ötödik feladat.