A számtani sorozat 17. tagja 43, az első tíz szám összege 85. Számítsd ki a sorozat első tagját és a differenciált!?

A számtani sor n. tagját a következő képlettel ki lehet számolni:

a[n] = a[1] + (n-1) * d

Jelen esetben:

a[17] = a[1] + (17-1) * d

43 = a[1] + 16*d

~ ~ ~

A számtani sor összegképlete:

S = (a[1] + a[n]) * n / 2

Ha ebbe behelyettesíted az „a[n] = a[1] + (n-1) * d” képletet, akkor megkapod a másik összegképletet:

S = [2*a[1] + (n-1)*d]*n / 2

Jelen esetben:

85 = [2*a[1] + (10-1)*d]*10 / 2 = 10*a[1] + 45*d

~ ~ ~

Van két ismeretlen – a[1] és d – és van erre két egyenleted:

43 = a[1] + 16*d

85 = 10*a[1] + 45*d

Ez egy kétismeretlenes egyenletrendszer. Megoldod pont a kérdésben szereplő két értéket kapod meg, a számtani sorozat első tagját (a[1]) és és a differenciát (d).

Egy kicsit máshogyan, képlethasználat nélkül;

Ha a sorozat 17. tagja 43 és d-vel jelöljük a differenciát, akkor a sorozat tagjai szépen felírhatóak:

a(16)=43-d

a(15)=43-d-d=43-2d

a(14)=43-2d-d=43-3d

.

.

.

a(10)=43-7d

a(9)=43-8d

a(8)=43-9d

a(7)=43-10d

a(6)=43-11d

a(5)=43-12d

a(4)=43-13d

a(3)=43-14d

a(2)=43-15d

a(1)=43-16d

Ha a(1)-től a(10)-ig összeadod a tagokat, akkor a 430-115d eredményt kapod, ennek kell 85-nek lennie:

430-115d=85, erre d=3 eredményt kapjuk, tehát a sorozat differenciája 3, ebből már megadható a sorozat első tagja is.