Mutassuk ki, hogy bármely x e ℝ és bármely n e ℕ esetén igaz, hogy? cos (x+nπ) = (-1) ^n *cos x sin (x+nπ) = (-1) ^n *sin x

Szerintem ez nem igaz. Legyen pl. x=π/3 és n=1.

Ekkor

cos (x+nπ) = cos (4*π/3) = -1/2

(-1) ^n *cos x sin (x+nπ) = -1 * cos (π/3) *sin (4*π/3) = -1 * 1/2 * (- (√3)/2) = (√3)/4

(-1) ^n *sin x = -1 * sin (π/3) = (√3)/2

-1/2 ≠ (√3)/4 ≠ (√3)/2

Egyetértek az előttem szólóval, de csak hogy kákán is csomót keressek, az utolsó érték az -(√3/2).

Viszont, hogy kicsit általánosabb formát is adjak, bőven elég mondjuk az első és az utolsó egyenletet vizsgálni.

2 esetet érdemes megkülönböztetni, hogy n éppen páros vagy páratlan.

Ha (n|2):

cos(x+nπ) == cos(x)*cos(nπ)-sin(x)*sin(nπ)

sin(nπ) = 0, tehát cos(x)*cos(nπ) marad. Mivel n páros, így cos(nπ) = 1 mindig, tehát az eredmény cos(x).

(-1)^n*sin(x) == sin(x).

Azt kaptuk tehát, hogy páros n-re: cos(x)=sin(x), ami nyilván nem igaz minden x-re.

Páratlan esetet hasonlóan végigvezetve kapod, hogy

-cos(x) = -sin(x), amit átszorozva (-1)-gyel pont az előzőt kapod, de ez is felesleges akár, ebből is látszik, hogy nem minden x-re igaz. :)