Hogyan kell bebizonyítani (matek)?
A bijekció tulajdonságai ugye a következők: reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Hogyan bizonyítjuk be ezeket a tulajdonságokat, ha adott A, B és C tetszőleges halmaz?
Lehetőleg szöveges magyarázatot is írjatok légyszi :') hogy mi miért történt.
válasza:Bijekciónak függvényeket hívunk, ezek relációként általában se nem reflexívek, se nem szimmetrikusak, se nem tranzitívek.
Te valószínűleg arra a relációra gondoltál, hogy A~B ha van A és B között bijekció. Ugye?
Ez reflexív, mert az identitás bijekció bármely halmazról önmagára. Szimmetrikus, mert ha A-ból van bijekció B-be, akkor ennek a bijekciónak az inverze B-ből A-be lesz egy bijekció. És tranzitív, mert bijekciók komponáltja bijekció.
nem tudom, hogy mire gondoltam :'D kaptunk egy négy oldalas lapot, hogy nesze gyerek tanuld meg, nulla magyarázattal, tele jelekkel. itt van előttem a papír, szo szerint az van ráírva, hogy bijekció tulajdonságai: amit mar leírtam fent. be is van bizonyítva, csak eppen szavakat nem használ a bizonyítás, es gőzünk arrol, hogy mi micsoda.
A reflexív részt igazából értem, a masik kettőt nem.
válasza:A lapod rosszul írja akkor. Ha bemásolod a jeleket, lefordítom neked magyarra.
Mit nem értesz jól abból, amit írtam?
A valaszodat ertem, a mi lapunkat nem :D azaz, a tiedhez is lenne pár kérdésem: mi az a reláció,identitás, illetve komponált? teljesen új a téma és idén jöttem át emeltre, szóval kicsit ismeretlenek a fogalmak, kifejezések
a) A<->B reflexív. Mivel A minden elemehez önmagát rendeljük, ez bijekció.
b) szimmetrikus, mert A<->B ezért létezik A->B bijekció. Ennek a függvénynek az inverze f(mínusz elsőn) B->A is bijekció.
c) (ezt nagyon nem vágom) A<->B és B<->C ezért létezik f:A->B és g:B->C bijekció. Legyen h(x)=g(f(x)) x eleme A-ra f(x) eleme B és h(x)=g(f(x)) eleme C, azaz Rh reszhalmaza C. Ha x1 eleme A és x2 eleme A es x1 nem=x2,akkor f(x1) nem=f(x2),mivel f bijekció. g(f(x1)) nem=g(f(x2)) mivel g bijekció, azaz h(x1) nem=h(x2) azaz h kölcsönösen egyértelmű. Legyen z tetszőleges eleme C-nek. Mivel g bijekció, létezik olyan t eleme B-nek, melyre z=g(t). Mivel f is bijekció, létezik u eleme az A halmaznak, melyre t=f(u), azaz z=g(t) =g(f(u)) =h(u). Azt kaptuk, hogy h ráképezés tehát A->C kölcsönösen egyértelmű raképezés, azaz A<->C.
válasza:Arra gondol a lapod, amit írtam, csak rosszul írja. Nem a bijekcióról beszél, hanem a "bijekcióban lenni" relációról. Gimnazista vagy?
Azt tudod, mi a függvény, ugye? A reláció majdnem ugyanaz, csak nincs az a kikötés, hogy minden elemhez csak egyetlen egy elemet rendelhetsz hozzá. Pl reláció az egész számok halmazán a "nagyobbság". 2<3, 2<4, 2<5, 0<5...
Identitásnak azt a függvényt hívjuk, ami egy halmaz összes eleméhez saját magát rendeli hozzá.
Két függvény komponáltjának azt a függvényt hívjuk, amit úgy kapunk, hogy egymás után alkalmazzuk a két függvényt. Pl legyen f az a függvény, ami az összes valós számhoz hozzárendeli a négyzetét, g pedig az a függvény, ami az összes valós számhoz hozzárendeli a háromszorosát. Akkor f komponált g az a függvény lesz, ami fog egy valós számot, megszorozza 3-mal, majd az eredménynek veszi a négyzetét. G komponált f pedig az a függvény lesz, ami vesz egy valós számot, négyzetre emeli, aztán az eredményt megszorozza 3-mal. Ez egy olyan művelet, ahol nagyon számít a sorrend.
A lapodon az "A<->B" azt jelöli, hogy "van olyan bijekció, aminek A az értelmezési tartománya és B az értékkészlete". Azt ugye tudod, hogy mi az, hogy bijekció?
Olyan függvényeket hívunk bijekciónak, amelyek injektívek is meg szürjektívek is. Ez azt jelenti, hogy különböző elemeknek különböző a függvény szerinti képe is (injektív), és az érkezési halmaz összes elemét megkapod valamilyen elemnek a képeként (szürjektív). A c) részben ezt a két tulajdonságot vizsgálod meg külön-külön. Azt mondjuk, hogy egy reláció tranzitív, ha igaz az, hogy ha x relációban van y-nal, és y relációban van z-vel, akkor x is relációban van z-vel. Azt kell megvizsgálni, hogy ha van bijekció A-ból B-be és B-ből C-be, akkor van-e bijekció A-ból C-be. A bizonyításban azt mutatod meg, hogy a két bijekció komponáltja pont ilyen függvény, amilyet keresel. Először azt nézed meg, hogy a komponált tényleg A-ból C-be megy, aztán azt, hogy injektív, aztán azt, hogy szürjektív. Próbáld meg így végigolvasni.
Az, hogy egy reláció szimmetrikus, azt jeleni, hogy ha egy x elem relációban van egy y elemmel, akkor y is relációban van x-szel. A nagyobbnak lenni reláció pl nem szimmetrikus, mert 1<2, de 2 nem kisebb, mint 1.
Minden bijekciónak van inverze. Ha megadnak neked egy függvényértéket, meg tudod belőle mondani, hogy az az értelmezési tartomány melyik elemének a képe, hiszen csak egyetlen egy ilyen elem van (az injektivitás miatt). Az inverz az a függvény, ami az eredeti függvény értékkészletének az elemeihez rendeli hozza az eredeti függvény értelmezési tartományából azt az elemet, aminek éppen az az érték lett a képe. Pont a fordítottja az eredetinek. Ha az a 2-höz 4-et rendelt, akkor az inverz a 4-hez a 2-t rendeli. Így ha az eredeti függvény A-ból ment B-be, akkor az inverze B-ből megy A-ba. Érted?
Igen, gimis vagyok, végzős.
Nagyon szépen köszönöm, életmentő volt ez a válasz :) Így már egészen értem. Még végiggondolom és emésztem, de valószínűleg felfogtam, amit fel kellett.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!