Hogy tudom bebizonyítani? ( Matek )

Gondolom az első 2012 természetes szám összegére gondolsz. Erre valóban van zárt képlet, Bizonyítható (például teljes indukcióval is), hogy az első n db darab természetes szám (azaz pozitív egész szám) összege 1+2+3+...+n=[n*(n+1)]/2. Ha jól tudom, akkor erre képletre a kisgyermek Gauss jött rá (akinek 1-től 40-ig kellett összeadnia a számokat).

Ő úgy okoskodott, hogy felírta a számokat egymás után ( 1,2,3,4,...37,38,39,40). Észrevette, hogy bizonyos párosításban az összeg ugyanannyi, azaz 41 (1+40,2+39,3+38,...stb.). Ha az utolsó szám n, akkor pont n/2 darab pár van, az összeg meg mindnél n+1, azaz az összeg n/2*(n+1), tehát éppen a fenti.

Teljes indukcióval előbb n=1-re kell megmutatni, hogy a képlet igaz: helyettesítsünk 1-et mindkét oldalon; bal oldalt az "összeg" n=1-ig éppen 1; jobb oldalt helyettesítve [1*(1+1)]/2=1, tehát igaz.

Most tegyük fel, hogy n=k-ra igaz, azaz 1+2+3+...+k=[k*(k+1)]/2. Amit bizonyítani kell, hogy ez igaz n=k+1-re is. Így az összeg a bal oldalon 1+2+3+...+k+(k+1), illetve a jobb oldal [(k+1)*(k+2)]/2. Az összeget kell alakítgatni. Felhasználjuk a feltevést (ti. mennyi az összeg k-ig), így [k*(k+1)]/2+(k+1). Ezt rendezve pontosan a másik oldalon található kifejezést kapjuk. Így a tétel igaz tetszőleges természetes számra.

A te esetedben n=2012, így aztán [2012*(2012+1)]/2=2025078. Ami pontosan egyezik a kérdésedben leírttal :)