A feladat így hangzik: 100 m hosszú kerítést készítúnk egy folyó partján egy téglalap alakú teleken. Mekkorák legyenek a telek méretei, ha a folyó felől nem épül kerítés? Előre is megköszönném a segítséget!

Legyen 40m hosszú és 30m széles

Vagy 50m hosszú és 25m széles

Vagy legyen 98m hosszú és 1m széles.

Ebben a megfogalmazásban; legyen a téglalap két oldala a és b hosszú, az ezekkel párhuzamos oldalak értelemszerűen ugyanolyan hosszúak. Ha az a oldal a folyó felé esik, akkor a kerítés hossza b+a+b=2b+a hosszú. Mivel adott, hogy 100 méter hosszú a kerítés, ezért

100 = 2b+a, ebből

100-2b = a adódik, tehát ha b helyére beírunk egy számot (ami értelemszerűen pozitív és 50-nél kisebb), akkor megkapjuk a folyórésszel szemközti oldal hosszát is. Tehát ha pl. b=10, akkor 100-2*10=80, tehát az a oldal 80 méter hosszú.

A kérdésből viszont azt a nagyon fontos információt kihagytad, hogy olyan telket szeretnénk, ami a lehető legnagyobb; a fenti egyenletből azt kaptuk így meg, hogy ha az egyik oldal hossza b, akkor a másik oldal hossza így 100-2b lesz. Mivel téglalap alakú telekről van szó, ezért ennek a teleknek a területe b*(100-2b) négyzetméter, vagyis -2b^2+100b írja le a telek területét attól függően, hogy b milyen hosszú. Ennek a függvénynek a maximumát kell meghatáronunk, hogy tudjuk, mikor lesz a legnagyobb a terület. Lévén másodfokú függvényről van szó, ezért több módot is tudunk rá találni;

1. mód: átírjuk teljes négyzetes alakra:

-2b^2+100b = -2*(b^2-50b) = -2*((b-25)^2-625) = -2*(b-50)^2+1250. Mivel a -2*(b-25)^2 értéke vagy negatív vagy 0, ezért az egész függvény csak úgy lehet a legnagyobb, hogyha annak értéke 0, tehát a területe 625 m^2 lesz b=25 esetén. Mivel a=100-2*b, ezért a hossza 100-2*25=50 méter.

2. mód: tudjuk, hogy a másodfokú kifejezés szimmetrikus. Mivel szimmetrikus, ezért a gyökök is szimmetrikusan helyezkednek el, tehát ha tudjuk a gyököket, akkor azok között egyenlő távolságra lesz a szélsőérték helye:

b*(100-2b) =0, ennek ránézésre gyökei a b=0 és a b=50, ezektől egyenlő távolságra a 25 áll, tehát ha b értéke 25, akkor a függvény maximumát kapjuk, ami 25*(100-2*25)=25*50=1250 m^2. Az a oldalt ugyanúgy kapjuk, mint az előbb.

3. mód: deriválással; ahol a derivált 0, ott lehet szélsőérték:

(-2b^2+100b)'=-4b+100, tehát a -4b+100=0 egyenletet kell megoldanunk, ahol b=25-öt kapjuk. Innentől ugyanaz a forgatókönyv, mint eddig. (A derivláls emelt szintű anyag, így nem baj, ha nem érted, de a másik kettőt viszont kellene).

"1. mód: átírjuk teljes négyzetes alakra:

-2b^2+100b = -2*(b^2-50b) = -2*((b-25)^2-625) = -2*(b-50)^2+1250. Mivel a -2*(b-25)^2 értéke vagy negatív vagy 0, ezért az egész függvény csak úgy lehet a legnagyobb, hogyha annak értéke 0, tehát a területe [625 m^2] lesz b=25 esetén. Mivel a=100-2*b, ezért a hossza 100-2*25=50 méter."

A szögletes rész helyén 1250 m^2 van.