Egyenletrendszer HELP!?

Logaritmald.

legyen logx = a es logy = b

Akkor igy fog kinezni logaritmalva mindket oldalt:

a+b=a*b

3a=2b

mindjart baratibb

y^x logaritmusa

log y^x = x * logy = x*b

És nem a*b.

Esetleg írható e^a * b-nek.

Mivel y^2 nem negatív, ezért x csak nem negatív szám lehet.

x=0 szintén nem megoldás, mert 0^0 nincs értelmezve.

Tehát x>0

A második egyenletből:

y = +- x^(3/2)

Az a baj, hogy elképzelhető, hogy y negatív legyen, Pl y=-1 és x=1-re

1*(-1) = (-1)^1

Ezért nem használható csak úgy a logaritmus, mert log -1 nincs értelmezve.

a) Nézzük meg először, hogy y negatív.

y = -x^(3/2)

x*(-1)*x^3/2 = [(-1)*x^(3/2)]^(x)

A negatív számoknak nem egyszerű a hatványozása.

"Legtöbbször a negatív számok hatványait a valós számok körében csak egész kitevő esetén értelmezik"

Tehát tegyük fel, hogy x egész szám.

-x^(5/2) = (-1)^x * x^(3/2*x)

x csak páratlan lehet, mert a bal oldal negatív, a jobb oldalon x^(3/2x) pozitív.

-x^(5/2) = (-1) * x^(3/2*x)

Tehát ezt kell megoldani a pozitív egész számok halmazán.

x^(5/2) = x^(3/2*x)

Na most lehet logartimust venni mindkét oldalon.

5/2 * log x = 3/2*x * log x

Ha x=1, akkor a log x =0, ez megoldás.

Ekkor y = -1 lesz.

Ha x nem 1, akkor oszthatunk log x-ek

5/2 = 3/2 * x

x = 5/3, ez nem jó, mert kikötöttük, hogy x egész.

b) Nézzük meg másodszor, hogy y pozitív

x*x^3/2 = [x^(3/2)]^(x)

x^(5/2) = x^(3/2*x)

Ez ugyanaz, mint az előbb.

Tehát x = 1 és x=5/3 lesz a megoldása.

Ha x=1, akkor y=1, ez megoldás.

Ha x = 5/3, akkor y = (5/3)^(3/2) ~ 2,15

Összefoglalva 3 megoldás van:

(1, -1)

(1, 1)

(5/3, (5/3)^(3/2))

Visszahelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy mindhárom megoldás jó.