Ezt hogyan kell kiszámolni?

Emeljük mindkét oldalt négyzetre:

(5^(x^2-(11/2)x+3))^2 = 5

A hatványozás azonosságai szerint a bal oldalon összeszorozhatjuk a kitevőket:

5^(2x^2-11x+6) = 5

Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt ezek akkor egyenlőek, hogyha a kitevők egyenlők, tehát:

2x^2-11x+6 = 1, ezt pedig már meg tudod oldani.

Ha érted a törtkitevő jelentését, akkor úgy is megoldható, hogy gyök(5)=5^(1/2), ekkor az egyenlet:

5^(x^2-(11/2)x+3) = 5^(1/2), innen pedig szinténaz expinenciális függvény szigorú monotonitása miatt:

x^2-(11/2)x+3 = 1/2, ha ezt 2-vel szorozzuk:

2x^2-11x+6 = 1, akkor ugyanazt az egyenletet kapjuk, mint az előbb.

Nem kell az elején négyzetre emelni.

A jobb oldal gyök(5) = 5^(1/2)

Mindkét oldal azonos alapon szerepel, azért a kitevőknek azonosnak kell lennie:

x^2-11/2*x +3 = 1/2

Átrendezve:

x^2-5,5*x+2,5=0

Ezt már meg tudod oldani a megoldó képlettel.

Ifjutitan, nem tudom, hogy végigolvastad-e a válaszomat, de ezt is megemlítettem. Nem mertem ezzel kezdeni, mivel annyira nem szokott egyértelmű lenni a törtkitevős hatvány, a hatványozás azonosságaival számolni pedig kvázi általános iskolás anyag.

Ha jól sejtem, akkor a feladat:

4*3^(x+1) - 72 = 3^(x+2) + 3^(x-1)

Itt is a hatványozás azonosságát kell használni; azonos alapú hatványok szorzásánál a kitevőket összeadhatjuk, osztásnál pedig a számláló kitevőjéből kivonhatjuk a nevező kitevőjét, így lesz a 3^(x+1)-ből 3^x*3, a 3^(x+2)-ből 3^x*3^2=3^x*9, a 3^(x-1)-ből 3^x/3, tehát az egyenlet:

4*3^x*3 - 72 = 3^x*9 + 3^x/3. A jobb áttekinthetőség kedvéért cseréljük le a 3^x-nt z-re, tehát 3^x=z, így:

4*z*3 - 72 = z*9 + z/3, ez már egy egyszerű egyenlet, amit meg tudunk oldani; összevonunk:

12z - 72 = 9z + z/3, szorzunk 3-mal:

36z - 216 = 27z + z, újra összevonunk:

36z - 216 = 28z, kivonunk 36z-t:

-216 = -8z, végül osztunk (-8)-cal:

27 = z. Most visszaírjuk z helyére a 3^x-nt:

27 = 3^x, ezt pedig könnyedén meg tudjuk oldani, és 3=x-et kapjuk eredményül. Ez benne van a (2;5) intervallumban, tehát ténylegesen megoldása az egyenletnek.

Azt tudom elképelni, hogy -27=3^x jött ki a végére (ugyanúgy kivontad a 36*3^x-nt, csak nem vetted figyelembe, hogy a 216 előjele negatív), viszont ennek az egyenletnek nem megoldása az x=-3, lévén 3^(-3)=1/27, sőt, ennek az egyenletnek nincs (valós) megoldása, mivel minden pozitív szám hatványa pozitív.