Segítesz matekban? (11. -es matematika - vektorok)

Megpróbálom a 3. plédát leírni skaláris szorzat nélkül, sőt úgy is, hogy a háromszögek hasonlósága is csak közvetve szerepeljen benne.

a(5;7)

▔

és

b(4;-x)

▔

merőleges.

Először egy ábrát készítek egy négyzetrácsos füzetben.

a(5;7)

▔

könnyen megrajzolható, hiszen őróla mindent tudunk.

Ami

b

▔

vektort illeti, őt egyelőre csak megszerkeszthetjük: Az ,,a'' vektorra szerkesztünk egy merőleges egyenest. Ez az egyenes persze lejtős lesz, hiszen már maga az ,,a'' vektor is lejtős volt. Szóval a rá merőleges egyenes is lejtős: mint lejtő, jobb felé is megy, lefelé is süllyed, egyszerre, hiszen rézsútosan halad.No és most majd levágunk ebből az egyenesből egy akkora szakaszt, ami épp akkora, hogy pont 4-et megy vízszintesen jobbra a négyzetrácsokon. Most már megvan a levágott szakasz, meg lehet mérni, hogy mennyit süllyed lefelé ugyanez a szakasz a négyzetrácsokon, mialatt vízszintesen jobbra 4-et ment. Ez lefele süllyedés lesz az x.

Ez persze csak szerkesztés, nem számítás. Tulajdonképpen a pontos szerkesztés nem is fontos, elég, ha az ember csak angyjából látja az ábrát maga előtt. Most jön az algebrai rész:

az ,,a(5;7)'' vektor olyan ,lejtő'' volt, ami olyan lejtésű volt, hogy míg 5-öt ment jobbra, azalatt 7-et ment felfelé. Ezt rajzoljuk is le: keretezzük be a vektort,, rámázzuk be, mint egy képet: foglaljuk be őt egy ,,álló'' téglalapba (aminek ő éppen az átlója). Ez a téglalap olyan, hogy a vízszintes oldala 5, a függőleges oldala 7.

Most fordítsuk el a vektort TÉGLALAPOSTUL EGYÜTT merőlegesen. Könnyű látni, mi lesz az eredmény, hiszen egy téglalapot könnyű merőlegesen elfordítani: az eddigi vizszintes oldala függőleges lesz, az eddig függőleges oldala pedig vizszintes helyzetbe fordul. Ebből látszik, hogy pl. egy v(7;-5) vektor éppen olyan lenne, hogy merőleges lenne a vektorra (lényegében v nem más mint a vektor merőleges elfordítottja az óramutató járásával egyező irányba).

Ha a feladatban a b(7;-x) kérdés szerepelt volna, már mondhatnánk is, hogy x=5. A baj csak az, hogy a feladatban kérdezett b vektornak nemcsak abban különbözik atól, hogy el van fordítva, hanem abban is, hogy rövidebb is egyben. b-t nem úgy kapom a-ból, hogy egyszerűen csak elfordítom, hanem bonyolultabban: b-t úgy kapom a-ból, hogy elfordítom ÉS ZSUGORÍTOM IS. Kapásból tehát nehéz kisakkozni a dolgot.

Mindenesetre ha már annyit láttunk, hogy a v(7;-5) vektor merőleges lenne a-ra, akkor abból már ki lehet hozni a feladatban megadott b(4; -x)-et zsugorítással: a 7 valamilyen arányban zsugorodott, hogy 4 lehessen belőle(⁴/₇-del szorzódott), ugyanilyen arányban kell zsugorodnia az 5-nek is, hogy x lehessen belőle:

7 ⋅ ⁴/₇ = 4

5 ⋅ ⁴/₇ = x

Tehát valóban, x = 5 ⋅ ⁴/₇, vagyis

x = ²⁰/₇