Segítesz matekban? (11. -es matematika - vektorok)

1.Bázisvektort nem tom xD

2.Sztem nem kell az i és a j, mi nem szoktuk odaírni, csak simán a1b1+a2b2

3.

Ha merőlegesek egymásra akkor az A vektor normálvektora egyenlő a B vektor irányvektorával. Így felírhatod az egyenletet és kijön.

1. kérdés:

Az

A(1;1)

koordinátájú ponthoz az

─→

OA = i + j

,,helyvektor'' tartozik.

2. kérdés:

a vektort, amelyet számpárként kifejezve

▔

a(a₁; a₂)

▔

alakban szerepel, felírhatjuk (egyértelműen) az

i

▔

és a

j

▔

bázisvektorokkal is

a = a₁⋅i + a₂⋅j

▔

A bázisvektorokkal való felírás, és a számpárként való felírás megfelelthető egymásnak, mindkettő alak alkalmas arra, hogya vektorokat egyértelműen megadjuk, felírjuk.

3. kérdés:

a(a₁; a₂)

▔

b(b₁; b₂)

▔

a és

▔

b pontosan akkor merőleges egymásra, ha a koordináták között egy érdekes összefüggés teljesül:

▔

a₁⋅b₁ + a₂⋅b₂ = 0

Szóval tömören leírva az egészet:

a ⊥ b ⇐⇒ a₁⋅b₁ + a₂⋅b₂ = 0

▔

ez a képlet érdekes összefüggés, mert a merőlegesség alapvetően ,,geometriai'' fogalmát algebrai összefüggés révén fejezi ki, ezzel összefügést teremt a matematika két olyan ága között (algebra, geometria), amire egyébként eléggé különállóan gondoltunk korábban.

Szóval e feladatnál konkrétan, a merőlegesség úgy fejeződik ki, hogy

5⋅4 + 7⋅(-x) = 0

egyszerűbb így írni:

5⋅4 - 7⋅x = 0

ez pedig már egyszerű elsőfokú egyenlet:

7⋅x = 5⋅4

7⋅x = 20

x = ²⁰/₇

Egyébként a vektor szerintem nehéz fogalom, ha teljes mélységében meg akarja érteni az ember.

A vektorok kettős arca okozza a fő nehézséget. A vektorokra úgy is lehet gondolni, mit valami ,,algebrai'' fogalmmra, szóval olyasvalamire, amivel ,,számolunk'', műveleteket végzünk és szimbólumokkal fejezzük ki ezeket. De úgy is lehet gondolni rájuk, mit valami ,,geometriai'' fogalomra, amikkel ,,szerkesztéseket'' végzünk, és ,,le lehet rajzolni'' őket, nemcsak szimbólumokkal jelölni.

A két ,,szemlélet'' között nem egészen nyilvánvaló az oda-vissza váltás, sőt pont ez a legnagyobb művészet a vektorok fogalmának megértésében.

A vektorok fogalmának kialakulása kissé bonyolult történet volt, ezért inkább csak részleteket tudok említeni, és azokat sem teljes pontossággal.

A matematika két hagyományos ága között (számtan, mértan) kevés átfedés volt régen. A számtan a számolásból és a mérésből eredt. A természeti népek, vadászok-gyűjtögetők például csak ötig-hatig tudtak eredetileg számolni, sokszor még ezt a kevés számot is nehézkesen fejezték ki (egy, kettő, kettő-egy, kettő-kettő, kettő-kettő-egy, kettő-kettő-kettő, és innentől már a sok jön). Bogyók, gökerek gyűjtögetéséhez, állatok vadászatához, halászathoz, a napról napra való élethz nem kellettek bonyolult készletezési, kereskedelmi, térképészeti fogalmak. Pontosabban: kellett egy jó gyakorlati érzék, és egy alapos helyismereti tudás, de az beleolvadt a mindennapi életbe és a mágiába. A természeti népek kifinomult részletességel ismerik az állatok belső szerveit, az állat- és növényfajok neveit, a termszeti jelnségeket -- ebből a szempontból sokszor még árnyaltabb is lehet a nyelvük, mint a mienk -- de a számok, mértékegységek nem jelennek emeg a nyelvükön, elegendőek a kis számnevek (egy, kettő, három), és a névmások (erre, arra, a látóhatáron túl, a folyón túl...)

A letelepült élet, majd a kereskedelem, a felhalmozott javak megjeelnése hozta el először a számolás és a földmérés szükségességét.

A fejletteb vivilizációkban megjelent a számábrázolás szükségessége, nagy számok kifejezhetősége, a számokkal való szimbolikus műveletek végzésének igénye. A raktárazás, készletezés, tervezés igénye hozta meg azt is, hogy problémákat, feladatokat lehessen ,,papíron'' előre megoldani, egyenleteket kezelni. A sumérok, indiaiak, a maják eljutttak a helyiértékes számábrázolás felismeréséhez is. A sumérok egészen komoly egyenleteket is meg tudtak oldani.

A földek mérése, kiosztása, épületek tervezése, térképészeti problémák, és a csilagászat (csilagképek megjelenése, naptár, mezőgazdasági munkák kedvező időpontban való megszervezése), szóval mindez a szükséglet pedig a geometria fejlődését motiválta. Az ókori görög geometria például kifejezetten fejlett volt, sőt olyan problémákat is a geometria nyelvén fogalmaztak meg, amit egyébként számokkal is ki lehetne fejezni.

Láthatjuk hát, hogy bár mindkét tudományt a civilizáció szükségletei hozták létre, de mégis a valóság más-más jelenségei indították el őket. A számtant a megszámlálás és a mérés hozta el, és azon alapszik , hogy a dogokat össze leht hasonlítani, a mértant pedig a térképészet, földmérés és a csilagászat hozta és azon alapszik, hogy az ember a teret formákra bontva látja. Szóval ez a két tudomány sokáig eléggé független volt egymástól. Ráadásul a valós számokkal kapcsolatos bizonyos nehézségek ezt a szakadékot tovább fokozták a görög matematikában.

Visszatérve a vektorokra:

A vektor azért érdekes fogalom, mert számolás és szerkesztés egyarán természetes módon adódik velük, néha geometriai, néha pedig algebrai köntösben gondolunk rájuk. Mivel az algebra és a geometria eléggé különböző szemléletet igányel, ezért szokatlan és különös a két szemlélet közti ide-oda váltás, márpedig ez a vektorok valódi megértésének szerves része.

Nézzük, honnan erednek is ez a különleges fogalom, mi is az, hogy vektor.

Borsók megszámolása, folyadékok mérése során elég a szóbanforgó dolgok ,,nagyságát'' számon tartani. Ez nagyobb, az kisebb, ennyivel, annyival kisebb. Itt természetes módon adódik ,hogy ezeket számmal jellemezhetjük. Azonban vannak olyan dolgok is, amik nem jellemezhetőek egyszerűen csak egy számmal, mert ennél bonyolultabbak. Például a a természetben is vanak olyan jelenségek, amiknek nemcsak egyszerűen ,,nagysága'' van, hanem iránya is.

Merre helyezkedik el egy település Budapesthez képest? Itt nemcsak az számít, miyen messze (persze az is), hanem milyen irányban.

Hogyan mozog az inga?

Milyen törvényeknek engedelmeskednek pályájuk során a bolygók?

Itt sem elég valami számot mondani: a súlyok, bolygók mozgásában nemcsk az az érdekes, hogy ,,milyen gyorsan'' mozognak, hanem az is, hogy milyen irányba vonják őket a ráható erők, melyik irányba térülnek, el, milyen irányba folytatnák az útjukat, ha hirtelen szabadon lennének engedve stb.

A vektrok fogalma éppen az efféle kérdéseknél bizonyul hasznosnak, szóval az olyan problémáknál, ahol valminek a nagyságát és az irányát egyaránt érdemesnek tűnik nyilvántartani. Úszik a vitorlás hajó a sebes sodrású folyóban. A szél hatásánál a nagyság és az irány egyszerre számít (melyik irányba milyen erős szél hat). A hajótest beállítása lavírozás közben szintén ilyen kettős nyilvántatást igényel -- milyen irányba állítom be a hajótestet (merre mutat az orra), és milyen hosszú a hajó teste (mennyire fekszik ellen oldalirányban a víznek lavírozáskor). A folyó sodró hatása szintén olyasmi, ahol nagyság, irány együtt számít -- milyen erős s sodrás, és milyen irányba sodor a víz. A vitorla felállítása szintén lehet ilyesféle összetett probléma: nemcsak az számíthat, milyen irányba fordítom, hanem az is, milyen szélesen van kifeszítve.

Mindez eddig eléggé geometriai jellegű fogalomnak tűnik, amit rajzon például nyilacskákkal lehetne szemléltetni. Persze néha ezeknek a nyilacskéknak inkább csak tényleg a nagysága és az irány számít, a helye nem feltételnül. Például egy folyó sodrása vagy a szél hatása teljesen független is lehet a helytől: a légtér és a folyó minden pontjában hathat ugyanolyan erejű és irányú ,,húzás''. Az adott napon esedékes szél tehát szinte ,,helyhez nem köthetően'' érvényesül, ,,szét van húzva az egész tájon'', legfeljebb egyes pontokban (hajótest, vitorla) jobban érdekel minket, mint másutt. A folyó sodra is szinte ,,eloszlik'' a víz teljes színén.

Itt akár azt is képzelhetem, hogy az egyes pontokban (pl. a hajó helyén) elképzelt nyilacskák csak képviselik a folyó egész területén elképzelt sodrásnak abban a pontban való ,,példányát'', ami egyébként mindenütt érvényesül, legfeljebb nem mindenütt érdekes.

A nehézkes fizikai példák helyett tisztább példát is vehetünk: eltolás. Van egy síkom (mondjuk az előttem fekvő papír síjka), és azt, a rajta levő ábrákkal együtt eltolom. Nem forgatom el, nem fordítom el a lapot, csak nyílegyenesen, fordulás és átfordítás nélkül tolhatom. Tulajdonképen így az ábrák ugyanolyan állásban maradnak (ami vízszintes volt, vízszintes is marad), csak arréb kerülnek. Mintha egy képet raknék arréb a falon: nem lehet csálé a kép, mindvégig tartanom kell az állását, és ki sem fordíthatom, csak annyit tehetek, hogy nyílegyenesen arrébb tolom a falon, anélkül hogy bedönteném. Az eltolás fogalma talán a legszemléletesebb példa a vektor fogalmára. Nyilvánvalóan látszik, mi az ami számít, és mi nem. Számít az irány (milyen irányban tolom el), a nagyság (mennyire), de nem számít a hely: ha egy egész síkot eltolok, akkor mindegy, melyik pontjánál fohgom meg a képet, hiszen így is, úgyis ,,egyben marad csak arréb kerül'', és ,,egyenesben kell tartanom''. Kicsit olyan, mit a kezecske, amikor a Photoshop-on tologatok el kijelölt képet, vagy amikor a google maps-ot igazítom a tenyerelő kezecsével:

[link]

szóval mindegy, melyik pontban fogom meg a kezecskével, és hol húzom meg, úgyis együtt mozog az egész kép. Ugyanazt az eltolást tehát különböző pontokban megragadott ,,húzásokkal'' is kiválthatom, csak a ,,húzás'' nagysága és iránya számít, az nem, hogy pontosan ,,hol ragadom meg''. A kezecskét egy irányított szakasz mentén mozgatom, aminek van kezdőpontja, végpontja, de maga az eltolás nem kötödik ahhoz, hogy melyik ponton is ,,fogtam'' meg a térképet a kezecskével. Más ponton ugyanúgy ,,ráfoghattam volna'', a lényeg, hogy ugyanabba az irányba húzzak a kezecskével, és ugyanolyan hosszan.

Éppen ennek a megértése fontos a vektor fogalmának átlátásában. Vektorokat gyakran jelölünk a szemléletesség kedvéért irányított szakasszal, ,,nyilacskával''. Azonban a vektor igazából nem maga a nyilacska (irányított szaksaz): egy konkrét helyre berajzolt nyilacska csak csak ,,képvisel'', ,,megvalósít'' egy vektort, ő csak az egyik képviselője a vektornak a sok közül. Szóval a vektort többféleképp is ,,képviselhetem'' más-más pontban felrajzolt ,,nyilacskával''. Akár tekinthetünk úgy is egy vektort, mint az őt megvalósító, egymás közt e szempontból egyenértékűen tekintett nyilacskák (irányított szakaszok) összességét. Csúnya hasonlat, de van benne valami: a vektor olyan, mint a szél és ha már mindenáron szemléltetni akrjuk, mi maga ,,a vektor'', akkor egymással párhuzamos (azonos állású), azonos irányba mutató, és ugyanolyan hosszú nyilacskák egész seregeként érdemes rá gondolni:

[link]

(Forrás: Paul Dawkins: Linear Algebra, ,,Vectors'' fejezet -- [link] )

Amikor a tankönyvben egy konrét nyilacskát neveznek vektornak, az azért van, mert egy konkrét feladatban időnként érdemes lehet a vektort egyenrangú ,,képviselői'' közül egyet kinevezni, ami az adott helyzetben valamiért érdekesebbnek tűnik.

Példa: vektorok összegzése, amit egymás hegyébe-talpába csatlakozóan felmért nyilakkal (is) szoktak szemléltetni.

[link]

Itt nem arról van szó, hogy micsoda szerencse, hogy az másik vektor ,,talpa'' tényleg ,,pont ott csücsül'' az első vektor hegyén. Ne szerencséről van szó: valójában egyik vektor sincs helyhez kötve, és mindkét vektor esetében szabadon választhatok az őket képviselő nyilacskák közül. És mi meg persze bölcsen úgy választjuk meg őket, hogy éppen egymáshoz csatlakozó nyilacskákat választunk ,,képviselőnek'' mind a két vektor esetében, mert így tudunk könnyen szerkeszteni, könyen meg tudjuk szerkeszteni az összegződő vektort (pontosabban az azt képviselő nyilacskát).

Mindebből eddig azt lehetne sejteni, hogy a vektor valamiféle geometriai fogalom, akár a háromszög meg a kör, és a vele való munka elsősorban szerkesztésekből áll. Valóban, szerkesztésekkel egész jól meg lehet oldani bizonyos feladatokat.

Péládul, úgy tűnik ,hogy a természetben az erőhatások éppen úgy összegezhetők, mint ahogy egy papírlapon nyilakat egymás után felmérek. Ha egy tárgyra észekkeleti irányba 5 newton erő hat, és déli irányba 6 newton, akkor nem kell feltétlenül méregetnem, hogy a két erő együttesen hogyan hat, és nem kell kíséreleznem, mert épp a vektor fogalma jól modellezi azt, ami tényelgesen is történik. A tapasztalat azt mutatja, hogy elég jó módszer az, ha egy papírlapon lerajzolok északi rányba egy 5 centis nyilat, annak a hegyétől kezdve meg felmérek egy 6centis nyilat déli irányba, aztán megrajzolom az ,,eredő'' nyilat (vagyis összekötöm az első nyíl talpát a második nyíl hegyével). Így éppen olyan nyilat kapok, amelynek nagysága is iránya is hűen kifejezni azt, hogy a kísérletben a kétféle módon is rángatott tárgyat eredően tényleg milyen hatás éri.

És az előbb említett eltolásoknál is jól lehet használni a nyilacskákat, ha a e kérdés, hogy a teljes sík két egymás utáni eltolása együttesen milyen egyetlen eltolással lene helyettesíthető. Itt arra érdemes figyelni, hogy az eltolásnak nincs konkrét helye, a nyilacskának van, ezért mindvégig tudni kell, hogy a nyilacska nem maga az eltolás, csak annak egy ügyesen megválasztott, szemléltető ,,képviselője'', sok más lehetséges mellett.

Mindezek alapján úgy tűnhet, hogy a vektor egy szellemes geometriai fogalom, irányított szakaszok (myilak) egymás közt ,,egyenértékűen'' tekintett együttese, serege, és a nyilacskákkal végzett szerkesztések révén alkalmas eszköz egyes geometriai feladatok megoldására.

Azonban a vektoroknak van egy másik arca is. A számok közt elképzelhető műveletek, ha más értelemben is, de értelmezhetők vektorok között is. Ezért aztán a vektoroknak is vagy egyfajta ,,számtanuk'', algebrájuk. Itt azért érdemes tudni, hogy ebben az algebrában az egyes ,,műveletek'' (összeadás, kivonás, é később valamilyen tág értelemben valamiféle szorzás is) valójában más értelemben szerepelnek, mit a számoknál. Nem azt mondom, hogy merő véletlen, hogy miért is nevezik a vektrok műveleteit éppen ,,összeadásnak'', ,,kivonásnak'',,szorzásnak'', de az összefüggések nem egészen ugyanazok, mit a számoknál.

A történet egyébként szintén elég régi, ha nem is ókori.

Állítólag Descartes éppen hanyatt fekve feküdt az ágyán, és a plafont nézte, ahol egy légy mászkált. Figyelte a légy állandóan változó helyzetét. Eszébe jutott, hogy tulajdonképpen ezt a geometriainak tűnő kérdést le lehet fordítani a számok nyelvére is: minden plllanatban meg tudjuk mondani a légynek a szoba sarkához képest való elhelyezkedését, ha minden pillanatban megmondjuk, hogy mekkora távolságban van az egyik faltól (mondjuk a szoba nyugati falától), és egyszerre azt is megmondjuk, hogy ugyanekkor egyben mekkora távolságra van a légy a szoba másik (az előbbire merőleges) falától (mondjuk a déli faltól).

Persze ez am már nem újdonság: a számtógép képernyőjére kirajzolt alakzatok egyes pontjai is tárolhatók számpárok (koordináták) formájában.

Ez a példa elég unalmasnak tűnik, de érdemes látni, hogy aban az időben elég nagy újdonsággal szolgált: mégiscsak egy kapcsolatot létesített két olyan tudomány között, amelyek korábban eléggé függetlenül fejlődtek egymástól, és eredetileg eléggé más indíttatásból is eredtek. A számtan tárgyak megszámolásából és folyadékok méréséből eredt, szóval összehasonlításból, a mértan pedig földek méréséből és építészeti, térképészeti, leíró csilagászati problémákból, szóval látásból és a formaérzékből. A számtant algebrai, szimbolikus módszerek jellemezték (számbrázolás, számjegyek, egyenletek, műveleti és egyenletrendezési szabályok), a mértant pedig szerkesztések, ahol a közvetlen látvány, a szemlélet mindvégig szem előtt lehetett.

Az, hgy két enyire különböző eredetű és módszerű tudomány között kapcsolat jöhetet létre, azt is jelentette, hogy az ,,átjárás'' mindkettőre nézve gyümölcsöző lehetett. Ahogy Descartes rájött, a térben valahogy elhelyezkedő pontokat imár számpárként is lehetett kezelni, egy mozgó pontot pedig úgy is le lehetett ezentúl írni, hogy megadunk egy egyenletet, amelynek a megoldásai számpárok, és épp azok a számpárok, amelyek valóban a mozgó pont egyes egymás utáni heyzeteit adják meg.

A kérdések, amiet kérdeztél, épp azért nehezek, mert valójában ,,suba alatt'' a geometria és az algebrai személet közti finom váltások történek, amiről könnyű elfeledkezni.

Van egy másik pont is, aminek a megértése nagyon sok buktatót és nehézséget jelent. Ez az, amit már említettem. hogy egy vektort képviselő irányított szakasz nem maga a vektor, csak megfeleletethető neki, és ez a megfeleltetés nem is annyira egyszerű fogalom.

Azt mondtam, hogy vektor, az valami olyasmi, aminek nagységa és iránya van, és hogy azért találták ki, mert hasznosnak biznyult bizonyos problémák megalkotásánál. Lássuk, hogyan lehetne elképzelni egy vektort. Mondjuk mondok egy irányt (,,északkelet felé''), és mondok egy nagyágot is: öt (valamilyen konkrét egység szerint mérve). Ezt hogyan lehetne szemléletesen elképzelni, mondjuk egy előttem heverő paprírlap síkjában? Persze rajzolhatok a síkban egy nyilat, ami északkeletre mutat, és öt egység (mondjuk centi) hosszúságú. Jó, de a papíron melyik pontba rajzoljam a nyilat? Persze, ha valmi konkrét feladat során jön ez elő (mondjuk egy hajó úszik a folyóban, és a folyó sodró hatása a kérdés), akkor nyilván a hajótest helyén veszem föl a ,,nyilat''. De ha feladattól függetlenül próbálom elkézelni, milyen vektor is ír le olyasvalamit ami ,,északeleti irányú, és öt nagyságú, és semmi más nincs megadva, akkor kénytelen vagok látni, hogy a nyilacskát a papír akármelyik pontjába képzelhetem, sőt, akár egy egész nyílsereget is rajzolhatok (ezek persze mind ugyanakkorák és ugyanolyan irányúak), és képzelhetm úgy, hogy maga az egész sereg együtt a vektor. Olyasmi, mint valami folyó sodrása, ami ugyan egy konkét pontban is jelentkezhet, ha valami konkrét feladat van (hajótest, vitorla), de egyébént teljesen ,,szétkenődik'' a folyó egész területén.

Mindezeken túl még a kérdések tartalmazzák a bázisvektor fogalmát is.

Az

i

▔

vektor nem más, mint a

,,Kelet felé egyet!'' (vagy ha úgy tetszik, ,,Jobbra egy egységnyi intenzitással!''),

a

j

▔

vektor pedig az

,,Észak felé egyet!'' (vagy ha úgy tetszik, ,,Felfelé egy egységnyi intenzitással!''),

fogalmának kifejezése. Szóval ez két olyan alapvektor, amelyek így ketten együtt azt az értékes dolgot nyútják, hogy minden más vektort ki lehet fejezni kettejük megfelelő arányban (súlyokkal) megválasztott összegeként. Ez a jó tulajdonsága egyébként nemcsak az i és j bázisvektoroknak van meg, de derékszügű kkordináta-rendszerben pont kényelmes az ő használatuk, mert a rájuk való felbontásban megjelemő ,,súlyok'' ész origóból felvett irányított szakszok végpontjainak koordinátái éppen meg foggnak egyezni, ez pedig sok mindent megkönnyít.

Úgy is gondolhatsz rájuk, mintha a meteorológusok úgy adnák meg mindennap a szél tulajdonságait, hogy képzeletben ,,felbontanák'' a szelet erre a két ,,alapszélre'':

i szélre: észak felé fújó 1 km/h-s szél

▔

j szélre: kelet felé fújó 1 km/h-s szél

▔

,,Kedves nézőink, ma képzeletben az i szelet vegyék hétszeres sebességgel, a j széelet pedig vegyék nyolcszoros sebességgel, és a kettőt ilyen arányban vegyítve pont megkapnák azt a szelet, ami ma van''.

Ebből máris érzi az ember, hogy kb. északkelet felé fújó szélről van szó, ami egy picit inkább fúj észak felé, mint kelet felé, de nem sokkal, és pesze a nagyságát is ki lehetne következtetni (vagy akár egy papírlapon ki is lehetne szerkeszteni, mint egy 7 és 8 befogókkal rendelkező derékszögű háromszög átfogóját).

Szóval, amikor a matekkönyvben az van, hogy a

P(2; 3)

ponthoz tartozó helyvektor 2i+3j

akkor azzal azt fejezzük ki, hogy az O(0; 0) origót a

2⋅i + 3⋅j

vektornak megfelelő eltolás épp a P(2;3) pontba tolja el. Ugyanezzel az eltolással más pontokat is eltolhatunk, de éppen az origót érintő eltolás fejez ki ilyen egyszerű összefüggést.

Fordítva is így van: tetszóleges pont, mondjuk valami Q(7; 8), egyben megad egy vektort is: azt a vektort, ami annak az eltolásnak felel meg, ami az O(0; 0) origót éppen a Q(7; 8) pontba tolná el. Ha ezt a vektort kifejezzük a bázisvektorok ,,súlyozásában'', akkor a 7⋅i + 8⋅j felbontást kapjuk.

Láthatjuk, hogy a origóból induló irányított szakaszok végpontjainak koordinátái, és a vektor bázisvektorokra való felbontása során nyert ,,súlyok'' éppen megegyeznek. Ezért van az, hogy az Általad említett első két feladatban mind a kétfajta módon is meg lehet adni a vektorokat: ezek az ábrázolásmódok egyaránt jók, hiszen mind a kétféle mód hűen adja vissza, melyik vektorról is van szó.