Hogyan bizonyítható, hogy a 4k+3 alakú prímmodulusokra nézve a kvadratikus maradékok egyben negyedik hatványmaradékok is?

Minden negyedik hatványmaradék egyben kvadratikus maradék is. (Ha a^4=b, akkor (a^2)^2=b.)

Ha p=4k+1, akkor a mínusz 1 kvadratikus maradék, ha p=4k+3, akkor kvadratikus nemmaradék. ( (-1/p)=(-1)^((p-1)/2) ) A negyedik hatványra emelés egy csoportmorfizmus Z/pZ multiplikatív csoportjából önmagába. Ha a mínusz 1 kvadratikus maradék, akkor ennek a morphizmusnak a magja 4 elemű (a,-a,ia,-ia négy db különböző elem, ugyanaz a képük. i-vel egy olyan elemet jelölök, aminek a négyzete -1. Negyedfokú polinomnak test fölött max 4 gyöke lehet, tehát a mag ennél nem lehet nagyobb), tehát a negyedik hatványmaradékok száma (p-1)/4. A kvadratikus maradékok száma mindig (p-1)/2. Ennek tényleg éppen a fele a (p-1)/4.

Ha a -1 nemmaradék, akkor a morfizmus magja csak kételemű. Ha nem így lenne, akkor legyen c egy negyedik hatványmaradék. Ekkor létezik egy olyan b elem, amelyre b^4=c. Ekkor (-b)^4=c is igaz. b^2=(-b)^2, tehát a többi negyedik hatványmaradéknak már csak -b^2 lehet a négyzete. (egy másodfokú polinomnak test fölött max 2 gyöke lehet) Viszont ha -b^2 kvadratikus maradék és b^2 is az, akkor -1 is az, ez pedig ellenmondás.

A negyedik hatványmaradékok így (p-1)/2-en lesznek, ami pont annyi, mint ahányan a kvadratikus maradékok vannak. Mivel ez egy véges szám és az egyik halmaz tartalmazza a másikat, a két halmaz egyenlő.