Ha a^2+b^2 osztható 31-gyel, akkor osztható 961-gyel is. Hogyan lehet bebizonyítani?

Ha 31|a^2+b^2 , akkor 31|a^2 és 31|b^2.

Ezt nem tudom, hogy lehetne szépen bebizonyítani, de ha 0-30-ig a számok négyzeteit végignézzük, illetve ezek 31-es osztási maradékát, akkor ezek fordulnak elő:

0,1,2,4,5,7,8,9,10,14,16,18,19,20,25,28

Ezek közül kettő összege csak akkor osztható 31-el, ha 0+0 maradékot ad a két szám.

Ha 31|a^2-et, akkor 961|a^2

961|a^2, 961|b^2, vagyis 961|a^2+b^2

Legyenek a és b pozitiv számok, melyekre a^2 + b^2 egész szám és osztható 31-el.

Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, melynek befogói a és b hosszúságúak, átfogóját nevezzük c-nek. Ekkor tudjuk, hogy felírható a^2 + b^2 = c^2 azonosság, azaz ha a^2 + b^2 egész szám, akkor négyzetszám is. Mivel 31 prímszám, egy vele osztható négyzetszám felbontásában legalább 2-szer kell szerepelnie, ezért a^2 + b^2 osztható 31*31=961 -el is.

Ha a vagy b 0, a^2+b^2 akkor is négyzetszám.

Ha a vagy b negatív, a^2 + b^2 akkor is osztható 961-el, mert a^2 + b^2 = |a|^2 + |b|^2, amiről meg már láttuk hogy osztható.

"Legyenek a és b pozitiv számok, melyekre a^2 + b^2 egész szám és osztható 31-el.

Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, melynek befogói a és b hosszúságúak, átfogóját nevezzük c-nek. "

Azt is bizonyítanod kéne, hogy c egész szám ilyenkor.

Pl, ha a^2+b^2 osztható 5-el, attól még 25-el nem biztos, hogy osztható.

Pl a=13, b=6

c^2 = 169+36

c^2 = 205

nem osztható 25-el.

és c nem egész, c = 14,31

De a 6,13, gyök(205) oldalú derékszögű háromszög nyilvánvalóan létezik.

Az 1. válaszom teljes értékű bizonyítás, nyilván nem túl szép.