Mik azok a poz egész számok, amik előállnak 3,1-nél nagyobb, páronként relatív prím szám összegeként?

Mármint 3,1-nél nagyobb, vagy

három darab, 1-nél nagyobb?

Csak mert ugye a prímek mind 1-nél nagyobbak, és így zavaró a dolog.

(Mielőtt belemennénk: semmilyen definíció szerint sem prímszám az 1, ez onnan is látszik, hogy ha fel kell írni pl. 10 prímfelbontását, akkor 2*5-öt ír mindenki, és nem 1*1*2*5-öt, vagy (1^53)*2*5-öt, ... stb.)

a) Páros számok: Egy páros és két páratlan összege:

Pl.

2+3+5=10, ez a legkisebb lehetséges páros.

2+3+7=12

2+3+9 helyett 2+5+7=14

2+3+11=16

2+3+13=18

2+3+15 helyett mondjuk 2+7+11=20

2+3+17=22

2+3+19=24

2+3+21 helyett mondjuk 2+11+13=26

2+3+23=28

2+3+25=30

2+3+27 helyett mondjuk 2+13+15=32

stb.

Általánosságban minden ≥12 páros szám kijön a következők szerint, ahol k≥1:

- 2 + 3 + 6k+1

- 2 + 3 + 6k+3 helyett valami más...

- 2 + 3 + 6k+5

A "valami más" pedig mondjuk ez lehet:

ha k páratlan: 2 + 3(k+1)-1 + 3(k+1)+1 (2 + m + m+2)

ha k páros: 2 + 3(k+1)-2 + 3(k+1)+2 (2 + m + m+4)

Fentebb az m páratlan.

m és m+2 relatív prímek, ugyanígy m és m+4 is, hisz a közös osztójuk legfeljebb a 2 (vagy 4) lehetne, de m páratlan.

b) Páratlan számok: Három páratlan szám összege:

pl.

3+5+7=15, ez a legkisebb lehetséges páratlan.

3+5+9 nem jó, és nem is lehet előállítani máshogy sem a 17-et.

3+5+11=19

3+5+13=21

3+5+15 helyett mondjuk 3+7+13=23

3+5+17=25

3+5+19=27

3+5+21 helyett mondjuk 3+7+19=29

3+5+23=31

3+5+25 helyett mondjuk 3+7+23=33

3+5+27=35

3+5+29=37

3+5+31=39

stb.

Általánosságban minden ≥39 páros szám kijön a következők szerint, ahol k≥1:

- 3 + 5 + 30k+1

- 3 + 5 + 30k+3 helyett 3 + 15k+1 + 15k+7 vagy 3 + 15k + 15k+8

- 3 + 5 + 30k+5 helyett 3 + 15k-1 + 15k+11 vagy 3 + 15k+2 + 15k+8

- 3 + 5 + 30k+7

- 3 + 5 + 30k+9 helyett 3 + 15k+1 + 15k+13 vagy 3 + 15k+4 + 15k+10

- 3 + 5 + 30k+11

- 3 + 5 + 30k+13

- 3 + 5 + 30k+15 helyett 3 + 15k+7 + 15k+13 vagy 3 + 15k+4 + 15k+16

- 3 + 5 + 30k+19

- 3 + 5 + 30k+21

- 3 + 5 + 30k+23

- 3 + 5 + 30k+25 helyett 3 + 15k+13 + 15k+17 vagy 3 + 15k+14 + 15k+16

- 3 + 5 + 30k+27

- 3 + 5 + 30k+29

Fentebb a "vagy" két oldalából azt kell választani, ami páratlan (k-tól függ).

Azt, hogy ezek relatív prímek, annak bizonyítását rád bízom. Az elsőt azért a példa kedvéért megcsinálom:

- 3, 15k+1, 15k+7, vagyis 3, m, m+6, ahol m páratlan és nem osztható 3-mal, m+6 sem. m és m+6 közös osztója legfeljebb 2 vagy 3 (vagy 6) lehetnek, de mivel m páratlan és 3-mal sem osztható, nincs közös osztójuk.