Határozzuk meg azt a két, nullától különböző természetes számot, amelyeknek számtani és mértani közepe egyenesen arányos az 5, illetve 4 számokkal, valamint szorzatuk és összegük aránya 12/5. Kérlek, leirja valaki a megoldást?

Legyen a két szám a és b, a, b > 0.

Számtani közép: (a+b)/2, mértani közép: gyök(ab)

arányuk 5:4, tehát

(a+b)/2/5=gyök(ab)/4

(a+b)/10=gyök(ab)/4

ab/12=(a+b)/5

Ezt az egyenletrendszert kell megoldani.

(a+b)/10=gyök(ab)/4

ab/12=(a+b)/5

a második egyenletből behelyettesítem az (a+b)-t:

ab/24=gyök(ab)/4

ab=6*gyök(ab)

gyök(ab)=6, ab=36

visszahelyettesítve a második egyenletbe:

3=(a+b)/5, a+b=15

innen kapjuk, hogy az egyik szám 3, és a másik 12.

Egy kis érdekesség.

Kissé felületesen olvastam el a feladatot, mert a második feltételt nem a számokra, hanem a középarányosokra értelmeztem.

Vagyis az

x = (a + b)/2

y = sqrt(a*b)

jelöléssel a következő egyenletrendszert állítottam fel:

x/y = 5/4

(x*y)/(x + y) = 12/5

Érdekes módon ennek is van érvényes megoldása, természetesen más, mint az eredeti feladatnak.

Akinek van kedve, kiszámolhatja. :-)

DeeDee

*******