Akárhogy elmetszünk egy testet egy síkkal, kört kapunk keresztmetszetként. Bozonyítsd be, hogy a test egy gömb. Hogyan?

A következőképp gondolkodnék: Felírnám a felület vektoregyenletét általánosan gömbi-koordinátarendszerben.

Utána venném a sík kétparaméteres vektoregyenletét.

Differenciálgeometriai módszerekkel felírnám a metszetgörbe egyenletét tartalmazó egyenletet.

Innentől kezdve Két dolgot kell igazolni: 1. A gömb egyenlete kielégíti az egyenletet. 2. Nincs más megoldás.

Elképzelhető, hogy létezik más, egyszerűbb megoldási módszer. Én egy viszonylag sablonos, fapados módszert részleteztem, ami biztosan működik. A leírt lépéseket kell végigcsinálni.

Miben akadsz el?

Vegyünk egy síkmetszetet, ami ugye egy kör.

Ennek két pontján áthaladó másik sík is ugye körben metszi a testet, ez egy másik kör.

Nevezzük a kör tengelyének a kör középpontján áthaladó, kör síkjára merőleges egyenest.

Azt állítom, hogy a kapott két kör tengelyei egy pontban metszik egymást. Ugyanis a k1 kör t1 tengelye merőleges a kör síkjára, így két kör közös húrjára is, és könnyen látható, hogy t1 benne van a húr felezősíkjában. Hasonlóképpen igaz ez a t2 tengelyre is.

Így mivel t1 és t2 is benne van a húr felezősíkjában, és nem párhuzamosak, ezért metszik egymást. Ez a pont legyen K.

K pont ekkor egyenlő távol (d) van a k1 kör kerületi pontjaitól, amelyek között a közös húr végpontjai is ott vannak. Ezért a K pont UGYANAKKORA d távolságra van a k2 kör összes pontjától is.

Valahogy ezt lehetne folytatni, körről körre "ugorva", a lényeg, hogy a két körnek legyen 2 közös pontja.

(...)

Ha nem lenne közös pontjuk, akkor található olyan harmadik kör, amelyiknek mindkettővel van közös pontja...

Bocs, de késő van, nem írom itt le, de meggyőződésem, hogy helyes a gondolatmenetem.

Ja, az előzőben az a lényeg, hogy minden kör minden pontja d távol van a K ponttól, azaz K egy gömb középpontja, és d a kör sugara.

Még valami: pontatlan a feladat szövege, hiszen nem lehet minden síkkal kör a metszet, van amikor csak egy pont, és van, amikor üres halmaz...