Relációk egyszerűben?

Ezek a matematikai logika alapelemei. A témakör nem épp a kedvencem, de azért megpróbálom érthetően leírni miről van szó.

1. Reflexivitás. Itt arról van szó, hogy két mennyiség között értelmezett reláció értelmes -e. Pl. ha van két valós szám, pl. 3 és 5, akkor közöttük értelmes az 3<5 reláció. Erre mondjuk, hogy reflexív.

Viszont legyen pl. 1kg liszt és 1liter víz. A két mennyiség között nem tudunk relációt felállítani, mivel a mértékegységek mások.

Hasonlóan pl. valós számok halmazából kivett elem és a 3D vektortérből kivett elem közt nem értelmezhető a reláció.

2. Tranzitivitás: Tegyük fel, hogy olyan halmazokkal dolgozunk, amelyeknél a reláció reflexív.

Ekkor ha tudjuk, hogy x>y és y>z, akkor ebből automatikusan következik, hogy x>z.

A tranzitivitás előnye és haszna, hogy számtalan becslési és közelítő eljárásokra ad módszert, pl. az analízisben és a műszaki tudományokban.

3. Szimmetrikusság: Jelölje a relációt R, és a halmazok, amiből dolgozunk legyenek A és B, továbbá teljesüljön a reflexivitás.

A reláció szimmemtrikus, ha minden a eleme A és b eleme B esetén fenáll az aRb és bRa kapcsolat is.

Ez tipikusan "és-viszont" kapcsolatot jelölnek. Azaz ha Mariska szereti mondjuk Bélát, és Béla is Mariskát, akkor ez matematikailag megfogalmazva: M S B és B S M. Azaz a relációs szimmetrikus.

Könnyen látható, ha pl. számokban gondolkodunk, akkor csak az egyenlőségjel szimmetrikus, ugayanis ha

a=b, akkor b=a.

Az egyenlőtlenségjel nem szimmetrikus, mivel tetszőleges a,b, valós esetén a>b fennállásakor b>a már nem igaz, hiszen kizáró feltételek.

Remélem érthető volt.