Kör területének kiszámítása integrállal?

Az a baj, hogy GYÖK(r^2-x^2)-et kellene integrálni!

Ezt pedig valami sinusos helyettesítéssel érdemes.

Ha 0-tól pí/2-ig integrálsz akkor kapod meg a negyedkör területét, ha felrajzolsz egy egység sugarú kört látni fogod.

Ha csak simán le akarod integrálni, akkor egy irracionális integrálás lesz:

Integtál 0-tól r-ig gyök(r^2-x^2) dx

Itt x-et tudod helyettesíteni r*cos(t)-vel, dx-et pedig r*sin(t)*dt-vel.

r*cos(t)=0 innen kijön a felső határ, a koszinusz függvény pí/2-nél vesz fel 0-át, az r=r*cos(t)-ből pedig kijön, hogy az alsó határ 0 lesz.

Visszahelyettesítesz mindent az eredeti integrálba és akkor úgy fog kinézni, hogy : integrál 0-tól pí/2-ig gyök(r^2-r^2*cos^2(t))*r*sin(t)*dt, innentől már nem valami nehéz.

Paraméteresen:

A képlet így néz ki, hogy : 1/2* integrál 0-tól 2pí-ig x(t)*y'(t)-x'(t)*y(t)* dt

Az x-ed : x=r*cos(t) -----> x'=-r*sin(t)

Az y-on : y=r*sin(t) -----> y'=r*cos(t)

Ezeket visszahelyettesíted, akkor lesz az integrál után r^2*cos^2(t)+r^2*sin^2(t)*dt

r^2-et kiemelsz, kiviszed az integrál elé, az integrál után pedig marad cos^2(t)+sin^2(t), ami 1 ugye és az egyet kell integrálni dt szerint.

Polárban:

A képlet: 1/2*integrál 0-tól 2pí-ig r^2(fí)*d*fí

x=r*cos(fí)

y=r*sin(fí)

A kör egyenlete: x^2+y^2=R^2

Behelyettesíted x-et és y-t, kiemelsz a jobb oldalon r^2-et, így kijön, hogy r^2(fí)=R^2

Tehát R^2-et integrálod d(fí) szerint.